ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ И ВЗРЫВА В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМАХ И ДВС В АЛТАЙСКОМ ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

П.К. Сеначин, Д.Д. Матиевский, B.C. Бабкин

 

ВВЕДЕНИЕ

 

       Моделирование процессов самовоспла­менения и горения (взрыва) гомогенных газо­вых смесей и моторных топлив в ограничен­ных постоянных и переменных объемах сложной геометрии представляет собой фун­даментальную задачу, решение которой име­ет теоретическое и практическое значение для изучения закономерностей горения с це­лью повышения надежности, экономичности и экологической безопасности транспортных двигателей внутреннего сгорания (ДВС) раз­личных типов, а также обеспечения пожаровзрывобезопасности сосудов и реакторов хи­мической и газовой промышленности, шахт­ных объектов и оборудования, объектов тра­диционной и атомной энергетики, новой авиационной и космической техники. Аварий­ное воспламенение и последующее горение (взрывы) газовоздушных смесей в промыш­ленности наносят большой материальный ущерб обществу и нередко приводят к чело­веческим жертвам. Теория внутреннего взры­ва заложена в работах Нагеля (Nagel A., 1908), Фламма и Махе (Flamm L., Mache Н., 1917), Льюиса и Эльбе, Иоста, Фиока и дру­гих. В последующие годы ей было посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ, однако многие пробле­мы до сих пор не решены. Современные ме­тоды расчета и соответствующие конструк­тивные и профилактические мероприятия еще не позволяют полностью исключить ус­ловия, при которых возможны воспламенения и взрывы горючих смесей в неконтролируе­мых условиях. Моделированию и оптимиза­ции рабочих процессов в ДВС посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых. Однако, что касается процессов са­мовоспламенения и горения в ДВС, а также экологических задач, применительно к ис­пользованию как традиционных нефтяных, так и новых перспективных топлив, то мате­матические модели и соответствующие ме­тоды расчета в настоящее время разработа­ны недостаточно. Особенно следует отметить важнейшую проблему жесткого сгорания или "стука", наблюдаемого в ДВС с искровым за­жиганием при форсированных режимах рабо­ты. Целью наших исследований является развитие существующих представлений о процессах самовоспламенения и горения га­зовоздушных смесей (в том числе новых и перспективных топлив) в ограниченных объ­емах сложной геометрии и ДВС и разработка математических моделей, учитывающих многозонность рассматриваемых процессов, а также аналитическое, численное и экспери­ментальное исследование этих процессов, направленное на решение ряда теоретиче­ских и практических задач теории горения.

 

 

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЗРЫ­ВА ГАЗА В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ

 

       На основе единого методического под­хода в строгой постановке рассмотрены ди­намические характеристики горения (взрыва) газа в ограниченном объеме при распростра­нении одномерных пламен, которые можно рассматривать как модельные для многих процессов горения газа в закрытых системах. Результаты исследования опираются на экс­периментальные данные, полученные на бомбе постоянного объема - БПО (рис. 1).

 

 

Рис. 1. Бомба постоянного объ­ема (БПО):

1-окно; 2- газовый вентиль; 3- диа­фрагма;   4- ис­кровой электрод; 5- датчик давле­ния

 

Рассмотрены соотношения на фронте пламени в различных системах координат, вытекающие из условий Ренкина-Гюгонио. Выведены соотношения для массовой доли продуктов горения nb, которые, с учетом pe – 1= gb(Ei – 1) могут быть записаны в виде

 

 

Последнее уравнение является  pe  -аналогом  предыдущего Ei -уравнения (здесь pe , Ei - максимальное давление взрыва и коэффици­ент расширения продуктов). Комбинируя эти уравнения, получим соотношения

известные в литературе как соотношения Фламма и Махе (первое) и Льюиса и Эльбе (второе). При других допущениях (подобных гипотезе Иоста, Льиса и Эльбе о сохранении внутренней энергии на фронте пламени) из основных уравнений могут быть получены практически все известные в литературе со­отношения для доли сгоревшего заряда. Из приведенных формул следует, что доля про­дуктов взрыва не зависит от симметрии, - ти­па пламени, формы и размера сосуда, коор­динаты точки (положения точек) зажигания. Поэтому и объем продуктов взрыва обладает теми же свойствами. Что касается координа­ты пламени, то, очевидно, она зависит от геометрии и типа пламени lf = (l/2 - a/2 + awb)1/v и для расходящих­ся и сходящихся симметричных пламен име­ем (при gb ¹ gu  и gb = gu)

 

 

          Получены обобщенные уравнения дина­мики одномерных пламен в замкнутом объе­ме для различных видов симметрии и на­правления распространения пламени, описы­вающие массовую долю продуктов горения, видимую (пространственную) скорость пла­мени, средние значения плотности и темпе­ратуры продуктов взрыва и текущее давле­ние, например, имеем уравнения динамики выгорания заряда (в pe - форме и  Ei  - форме)

и динамики давления (при gb ¹ gu  и gb = gu )

 

Коэффициент расширения продуктов  (при gb ¹ gu  и gb = gu) видимая (пространст­венная) скорость пламени запишутся

          Проведена   классификация   уравнений динамики по входящим термодинамическим

параметрам Ei и  pe и по основным предпо­ложениям относительно теплоемкостей све­жего газа и продуктов горения. Рассмотрена динамика процесса на начальной и заключи­тельной стадиях горения и получены частные решения уравнений динамики. Например, при сферическом расходящемся пламени на на­чальной стадии процесса для прироста дав­ления (и других динамических характеристик) имеет место "закон куба"

Для плоских и цилиндрических расходящихся пламен соответственно на начальной стадии справедливы "закон пропорциональности" и "закон квадрата"

Соотношение для  максимальной скорости нарастания давления при p = pe

справедливо для всех одномерных пламен, кроме сходящихся сферических и цилиндрических, для которыхХарактерное время заключительной стадии (наи­более интенсивного нарастания давления) можно определить как  для углеводородных пламен t s = 1 ¤ (3pe). Интересно, что отноше­ние продолжительности заключительной ста­дии к полному времени взрыва сильно зави­сит от кинетического параметра e (комбини­рованного показателя степени в зависимости нормальной скорости от текущего давления) и слабо - от конечного давления pe .

     На основе одновременного рассмотре­ния переменных Эйлера и Лагранжа получе­ны обобщенные соотношения, описывающие распределения скоростей (ускорений) газа и температур (плотностей) при распростране­нии одномерных пламен в замкнутых объе­мах. Так, например, в свежем газе темпера­тура и плотность распределены равномерно для всего объема, занимаемого газом, а в продуктах горения распределения зависят от эволюции конкретных элементов газа. Ис­следована динамика этих распределений в процессе горения (взрыва) газа, включая распределения скоростей на фронте пламени и эволюцию элементарного объема свежей смеси в процессе горения. Исследована при­рода Махе-эффекта, которая также зависит от эволюции элементарного объема газа. Лагранжева x= l /а и эйлерова l = г/а коор­динаты определяют расстояние до элемента газа в начальный и текущий моменты време­ни соответственно, связь между ними для свежей смеси (индекс u ) и продуктов горения (индекс b) суть

        В свежем газе температура и плотность распределены равномерно, а в продуктах взрыва распределения описываются соот­ветствующими уравнениями, в которые вхо­дит давление, при котором данный элемент газа сгорает на фронте пламени (аналог ла-гранжевой координаты x)

       Градиент температуры в продуктах взрыва (Махе-эффект) может достигать сотен градусов и рассчитывается по формулам:

       Скорости на фронте пламени (индекс f) и в объеме свежего газа (индекс u ) и продук­тов горения (индекс Ъ) как функции эйлеро­вой или лагранжевой координаты описыва­ются уравнениями

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВЗРЫВА ГА­ЗА В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ

 

       Рассмотрены вопросы физического мо­делирования аварийной ситуации, связанной с внезапным воспламенением и последую­щим горением (взрывом) газа в замкнутых объемах на основе динамики распростране­ния пламени в сферическом сосуде с цен­тральным зажиганием. Показано, что после записи основных уравнений динамики про­цесса в обобщенном виде они приобретают вид комплексов подобия

и в силу П-теоремы их комбинации также яв­ляются комплексами подобия:

       Становится очевидным, что основные безразмерные характеристики процесса оп­ределяются небольшим числом термодина­мических (p, pe, gu, gb) кинетических (e) параметров. Отсюда следует принципиаль­ная возможность физического моделирова­ния динамики внутреннего взрыва, например, скорости нарастания давления в натуре (ин­декс 2) и модели (индекс 1) при любых значе­ниях p, a, Su, но одинаковых значения       при  соблюдении   условия  

       Найдены определяющие параметры процесса и построены основные безразмер­ные комплексы подобия, исследованы их свойства и эволюция в процессе горения. На начальной стадии процесса приближенное решение уравнения динамики является хо­рошей аппроксимацией численного решения

не только в случае gb = gu, но и при gb ¹  gu,

кроме того, не содержит кинетического пара­метра e. Поэтому можно, во-первых, пред­ставить функции П6813 и некоторые другие в явном виде и, во-вторых, записать новые комплексы с меньшим числом пере­менных, например, комплекс П6 теперь за­пишется t / (p - l)1/3 = П15(p e,  gu). Отсюда следует кубическая зависимость прироста давления от времени, рассматриваемая не­которыми авторами как универсальная и справедливая при больших p, то есть р - pi  @ tk , k = 3. В действительности она применима в общем случае только на на­чальной стадии и при a = 1, n = 3.

       Средняя и максимальная скорости на

 где П8e = П8(p e). Откуда имеем выражения для полного времени взрыва

 

и для времени заключительной стадии горе­ния 

ts = (а/3Sui )   = (pe - 1)/( pe П8e.) @ te  / П 8e . Комплексы П8!013 интересны как пока­затели степени в зависимостях p @ , p @  , lf @  и не зависят от размера сосуда а, нормальной скорости пламени Sui и начального давления рi . Комплекс П7 характеризует текущую степень расширения продуктов взрыва Ef , в ходе процесса функция П7 изменяется от      до П7 = 1 и не зависит от скорости горения. Комплекс П6 при p = pе, то есть te = П6e (pe, gu, gb, e) можно рассматривать, как отношение нормальной скорости пламени в начале процесса Sui к средней скорости распространения пламени < Sf  >= a / te  или как отношение продолжительности процесса взрыва te к времени сгорания смеси с на­чальной скоростью ti = a/Sui. Откуда следу­ет, что в двух разных по объему сосудах при Sui = idem выполняется соотношение  te1 / a1 = te2   / a2

       Рассмотрена проблема взрыва газа в сосуде несферической формы. Показано, что скорости нарастания давления в несфериче­ском (индекс н) и сферическом (индекс с) сосудах связаны cоотношением

(dp/dt) / (dP/dt)  =  Kf .(pi Sui /a) / (pi Sui /a), где Kf = F. / F - фактор формы сосуда (за­висящий от текущего давления), а=(ЗV/4П)1/3 - эквивалентный радиус не­сферического сосуда (равного по объему сферическому),  П = 3,14.... В начале про­цесса Kf =1, а в конце Kf равен отноше­нию площадей внутренних поверхностей сосудов в сравниваемых процессах ( для куба Kf = 1,24). Для моделирования процесса сферическим сосудом не требуется геометрическое соответствие модели и объекта (на­туры), если известен форм-фактор Kf, но требуется теоретическое или экспериментальное определение Kf в зависимости от текущего давления.

       Рассмотрена проблема моделирования динамики турбулентного взрыва газа в ре­альных закрытых аппаратах. Отмечено, что в настоящее время большой прогресс достиг­нут при численном моделировании в задачах с нереагирующими потоками и определенные успехи имеются в задачах, рассматривающих течения с химическими реакциями. Решения получены на основе замыкания уравнений Навье-Стокса предположением Буссинеска о градиенте переноса (для скалярных турбу­лентных значений вязкости и теплопроводно­сти) в рамках двухпараметрической k - e модели турбулентности (связывающей тур­булентную кинетическую энергию k  и ско­рость ее диссипации e), рассмотренной Рейнольдсом, Сполдингом и другими. В химиче­ски реагирующих системах необходимо учи­тывать выделения энергии и локальные из­менения плотности среды, требующие при­менять осреднение величин в уравнениях сохранения (в рамках микрокинетического подхода для каждой компоненты). Поэтому расчетные статические модели, типа "k-e", применительно к сложным практическим сис­темам, и особенно к нестационарному турбу­лентному взрыву малоэффективны.

        Нами предпринята попытка связать ди­намические характеристики процесса с кине­тическими и турбулентными характеристика­ми свежей смеси. Основной вывод этого рас­смотрения, являющийся следствием развязки аэродинамических и термодинамических ас­пектов взрыва газа, имеет важное методиче­ское значение (предлагает использовать за­кономерности ламинарного режима в реше­нии проблем турбулентного взрыва) и позво­ляет ввести в рассмотрение турбулентную скорость пламени, используя принцип Гуи- Михельсона  Sut = (Ft / Fl)Su = c Su , где параметр c обычно называется факто­ром турбулизации. Уравнение для скорости нарастания давления (динамики турбулент­ного взрыва) имеет вид

где а = (ЗV/4П) - эквивалентный радиус со­суда. Сравнивая с аналогичным уравнением для ламинарного режима, получим соотно­шения двух типов

предполагающие применение к практическим системам методов "турбулентной скорости" и "контрольной поверхности" для описания турбулентного взрыва. В силу этого основное соотношение между скоростями нарастания давления турбулентного и ламинарного взрывов может быть представлено комбина­цией комплексов подобия

       Из последнего уравнения следует важ­ный вывод о несовершенстве широко используемого за рубежом показателя взрывоопасности ральных объектов в виде "закона куба" в рамках "концепции КG" (Ks для взрывов аэрозолей) КG = (dp/dt), V1/3. Для целей

моделирования турбулентного взрыва введе­на зависимость  Sut  / Suit = p =  которая предполагает замену величины e на e1 в используемых для описания процесса комплексах подобия. Поскольку на начальной стадии взрыва зависимость от e и e1, отсут­ствует, справедливо соотношение  удобное для экспериментального определения турбулентной скорости пламени.

        На основе экспериментальных данных разных авторов численно проанализированы основные свойства  комплекса  подобия (dln(p-1)/dln p  в рамках приближения gb = gu   и показана его слабая (порядка 1- 2%) зависимость от параметра pe , поэтому его можно представить в упрощенном виде 

Это позволило предложить простой метод расчета динамических характеристик процес­са, в том числе импульса избыточного давле­ния (на основе номограмм или таблиц). Для расчета скорости нарастания давления этот метод утвержден в качестве государственно­го стандарта (ГОСТ 12.1.044-89).

 

ВЗРЫВ ГАЗА В СООБЩАЮЩИХСЯ СОСУ­ДАХ

 

       В разделе рассмотрена природа и осо­бенности проявления обнаруженного Байлингом (Beyling E., 1906) эффекта аномально высокого давления во втором сосуде, разви­ваемого при горении газа в двух сообщаю­щихся сосудах, превышающего термодина­мическое давление взрыва в одиночном со­суде pe (рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.   2.    Сооб­щающиеся сосу­ды,   в   которых происходит    по­следовательное горение газа при инициировании его в первом со­суде.

 

       Получены уравнения для массовой доли продуктов горения в открытой системе (с пе­ременной массой и объемом), при адиабати­ческом взрыве газа в сосуде с жесткими стен­ками с истечением при gb = gu  и в сооб­щающихся сосудах, имеющие вид

 

где pj - давление в j -м сосуде, Wj = V j / V1 - относительный объем j-го сосуда, nbj, nfj -

массовые доли продуктов горения и фрон­тально сгоревшего газа в j -м сосуде. Второе

уравнение обобщает известное соотношение Льюиса и Эльбе для одиночного закрытого сосуда на случай произвольного числа сосу­дов. Проведена оценка максимального дав­ления во втором сосуде

где pi  - давление в сосудах в момент проско­ка пламени во второй сосуд.

            Рассмотрена проблема взрыва газа в полуограниченном объеме. Записана строгая система уравнений, описывающая процесс горения газа в сосуде с истечением, позво­ляющая, например, решать задачу о защите сосуда. Построена математическая модель процесса горения газа в сообщающихся со­судах, включающая зависимость нормальной скорости пламени от давления и температу­ры и уравнения сгорания газа в сосудах, ис­течения свежей смеси и продуктов взрыва, энергии свежего газа и баланса энергии в со­судах, сохранения массы, объема и состоя­ния газа.

Здесь обозначено:

скорость зву­ка; а1 = 0,62×V - радиус первого сосуда; g- коэффициент расхода (принимается g = 1); muli - исходная масса свежего газа в первом сосуде; nf1 , nf2 - доли продуктов, образованные при горении в первом и втором сосудах соответственно. Индексы n и r обозначают истекающие газы из 1 и 2 сосудов соответственно.

          Проведены экспериментальные иссле­дования горения газа в сообщающихся сосу­дах при широком изменении параметров сис­темы. Опыты проводились в сферических сосудах, соединенных цилиндрическим кана­лом длиной 100 мм и диаметром от 5 до 13 мм. Объем первого сосуда 2,2 дм3, второго -0,1, 0,54 и 2,2 дм3. Использовались стехио-метрические метано-воздушные смеси при начальном давлении от 0,05 до 0,5 МПа в первой серии (опыты 21-51) и 0,2 МПа во второй серии (опыты 52-108). Точка зажига­ния располагалась в первом сосуде на рас­стоянии 130 мм от входного отверстия канала, а в ряде отдельных экспериментов - в центре сосуда. Давление в обоих сосудах регистрировалось тензодатчиками мембран­ного типа на шлейфовом осциллографе.

           Некоторые результаты опытов приведе­ны на рис. 3 и 4. Если диаметр канала между сосудами мал, то процесс фронтального го­рения может не продолжаться во втором со­суде из-за гашения пламени в канале или прерываться на некоторое время. В этом случае горючая смесь во втором сосуде вос­пламеняется с некоторой задержкой от час­тично охлажденных продуктов горения, по­ступивших из первого сосуда (рис.5), в ре­зультате этого максимальное давление во втором сосуде может оказаться более высо­ким, чем в случае без задержки воспламене­ния. Интересно отметить, что при гашении пламени диаметр проходного канала может быть значительно больше критического диа­метра и толщины зоны пламени.

        Для условий каждого опыта рассчиты­вались характеристики процесса по описан­ной выше модели с использованием экспе­риментальных данных о временной шкале процесса (то есть варьированием параметра c2 добивались совпадения моментов окон­чания горения во втором сосуде t2m в экспе­рименте и модели, при этом для первого со­суда полагали c1 = 1). В результате были выявлена важная для практики зависимость фактора турбулизации c2  от отношения объемов W и параметра В (рис. 6).

         В результате экспериментальных иссле­дований и численного моделирования про­цесса установлено, что эффект аномально высокого давления обусловлен межкамерным взаимодействием двух факторов - горения и истечения. При этом экспериментально оп­ределена его зависимость от параметров процесса В и W. (рис. 7) Показано, что сре­ди определяющих параметров важное значе­ние имеют параметры: В- отношение харак­терных времен фронтального горения и исте­чения (или скоростей изменения тепловой энергии при истечении и тепловыделения при горении), W - отношение объемов сосудов, Jе = (pe  - 1) - энергетический параметр, c2   -  коэффициент турбулизации пламени во вто­ром сосуде.

 

Рис. 3. Динамика давления при взрыве газа в сообщающихся сосудах при рi = 0.2 МПа, B=0,439, W = 0,25:

сплошная ли­ния - первый сосуд;

пунктирная линия - второй сосуд;

 штрих-пунктирная линия -расчет;

1-     проскок пламени во второй со­суд;

3- максимальное давление во втором сосуде;

4- завершение горения во втором сосуде;

б- завершение горения в первом сосуде;

2, 5 , 7- первое, второе и третье равенства давлений в сосудах

 


 

Рис. 4. Дина­мика давле­ния при взры­ве газа в со­общающихся сосудах при

рi  = 0,2 МПа, B = 0,309, W=1.   Обо­значения см. на рис. 2

         Рассмотрены три возможных режима горе­ния. В режиме быстрого горения (В<<1) процесс лимитируется истечением. Горение происходит как в последовательных одиноч­ных сосудах. В переходном режиме (B»l) характерные времена горения и истечения соизмеримы и наиболее ярко проявляются эффекты взаимодействия: аккумуляция мас­сы газа во втором сосуде, высокие скорости турбулентного горения (с коэффициентом 40 по отношению к нормальной скорости), ано­мально высокие давления (с фактором 2,4 по отношению к максимальному давлению в одиночном сосуде) и другие. В режиме мед­ленного горения (В>>1) весь процесс опре­деляется собственно горением, он подобен процессу в одиночном сосуде, объемом рав­ным сумме объемов сообщающихся сосудов. Во всех случаях эффект аномально высокого давления возрастает с уменьшением пара­метра W.

 


Рис. 5. Дина­мика  давле­ния при взры­ве газа в со­общающихся сосудах   при рi  = 0,32 МПа, B = 0,19, W=1. Обо­значения см. на рис. 2

 

Рис. 6. Рас­четная зави­симость c2(b) при W = 0,05(3), 0,25(2), 1(1). Пунктирная линия - экст­раполяция

 

 

Рис. 7. Зави­симость p2m / pe  от В при W=.1(1), 0,25 (2), 0,05 (3) и 0,25. (4)-опыт  с  за­держкой вос­пламенения во 2-м сосуде. Сплошная ли­ния - расчет, пунктирная -экстраполя­ция, точки -эксперимент. Вертикальные штрихи - гра­ница зажига­ния во 2-м со­суде

 

ГОРЕНИЕ ГАЗА В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ СООБЩАЮЩИХСЯ СОСУДОВ

 

       Рассмотренная выше задача о горении смеси в двухкамерной системе имеет отно­шение к поставленной К.И. Щепкиным в на­чале 40-х годов проблеме горения газа в ше­роховатых труба и трубах с препятствиями, в которых драматическое ускорение пламени приводит к стационарной детонации с ано­мально низкими скоростями (до 0,4-0,5 от скорости детонации в гладких трубах). В по­следующие годы работы по горению газов в трубах с препятствиями получили дальней­шее развитие. Основные эксперименты, вы­полненные под руководством Дж. Ли (Канада) и другими исследователями на трубах с пе­риодическими препятствиями с низким бло­кадным отношением BR = 1 - d2/D2 = 0,28 - 0,60, показали следующее. Пламена даже в слабых (низкореакционных) смесях быстро ускоряются с выходом на один из стационар­ных режимов (которых может быть несколько в зависимости oт параметров BR, D) и рас­стояния между препятствиями) со скоростями меньшими, чем скорость детонации Чепмена-Жуге. Кроме того, в области сужения может наблюдаться гашение пламени (без реинициирования) при диаметре канала в 50 раз больше тепловой толщины зоны пламени. Математические модели рассмотренных вы­ше систем практически отсутствуют. В связи с этим представляется целесообразным до­полнить экспериментальные исследования по горению газа в трубах с препятствиями или в многокамерных системах на область больших блокадных отношений (0,91-0,98).

       Многокамерные системы представляли собой последовательные соединения одина­ковых цилиндрических камер (рис. 8) длиной 130 мм и D = 115 мм и d = 17 , 24 и 34 мм (BR = 0,982, 0,956 и 0,913). Каждый сосуд снабжался датчиками давления тензометрического типа, а канал - фотодиодом для реги­страции момента появления пламени в оче­редном сосуде с помощью шлейфового ос­циллографа. В опытах использовались пропано-воздушные смеси при начальных дав­лениях  рi = 0,02 - 0,40 МПа. Смеси поджи­гались электрической искрой в геометриче­ском центре первого сосуда. Некоторые ре­зультаты опытов приведены на рис. 9 и 10.

        Установлено, что наблюдаемые явления обусловлены процессами - горением и исте­чением, имеющими место в каждом индивидуальном сосуде, а также межкамерным взаимодействием этих процессов. В резуль­тате экспериментальных исследований обна­ружено существование стационарного режи­ма распространения волны горения. В этом режиме, когда профили давлений и скорост­ных потоков возобновляются в каждом сосу­де, формируется волновой процесс горения с постоянными скоростными и структурными характеристиками. Скорость волны (для стехиометрической пропано-воздушной смеси


при рi = 0,1 МПа и BR = 0,91 - 0,98 составляю­щая 306-440 м/с) зависит от химических свойств газа, а также от геометрии системы.

 

Рис. 8. Многокамерная система, в которой происходит последовательное горение га­за

 


Рис. 9. Зави­симости p(t) = p(t)/pi . Цифры    на кривых  обо­значают   но­мера сосудов. Кресты -  мо­менты проско­ка пламени в сосуд.

 


Рис. 10. Зависимости p(t). Пунктирная ли­ния соответствует максимальному давле­нию в одиночном сосуде. Обозначения см. на рис. 9.


Рис. 11. Рас­чет динамики давлений   в сосудах в 5-ти камерной сис­теме при на­личии тепло­отдачи   для Je = 7,9, ck= 5, В0 = 0,4

 

       Волна горения имеет интересную осо­бенность: она сопровождается барической волной с плавно возрастающим передним фронтом и максимумом, не превышающим максимальное давление при горении газа в сосуде постоянного объема. Положительный градиент давления во фронте вызывает дви­жение газа и перенос пламени вдоль оси сис­темы в направлении движения волны. Длина барической волны и длина зоны горения дос­таточно велики и достигают в стехиометрической смеси одного метра.

       В длинных системах установившемуся стационарному режиму горения предшеству­ет период его формирования. Расстояние выхода на стационарное состояние порядка величины зоны горения. Если длина системы соизмерима или меньше характерного раз­мера волны горения, процесс распростране­ния пламени от начала и до конца носит не­стационарный характер. Ограниченность сис­темы по длине привносит в процесс горения дополнительные эффекты нестационарности. Они проявляются как у ближнего, так и даль­него концов системы и выражаются, в част­ности, в развитии повышенных давлений в первых и последних 2-х или 3-х камерах (рис. 10). Концевые эффекты при прочих равных условиях более существенны в коротких сис­темах (рис.9).

       На основе модели двухкамерной систе­мы построена математическая модель про­цесса горения газовой смеси в линейной мно­гокамерной системе, включающей два основ­ных режима распространения пламени - ре­жим последовательного горения (Модель I) и режим одновременного горения (Модель II). Разработана также математическая модель для режима горения с гашением пламени при передаче горения из сосуда в сосуд и после­дующим реинициированием пламени по ме­ханизму динамического теплового взрыва. Полная система уравнений, описывающих процесс горения в системе N сосудов, со­стоит из (6N-3) дифференциальных и (5N+1) алгебраических уравнений, а также ряда гра­ничных и начальных условий на моменты проскока пламени, которые сами зависят от предыстории процесса. Рассмотрен процесс охлаждения продуктов горения в сосудах (рис. 11). При этом к уравнениям динамики давления необходимо добавить уравнения энергии для продуктов горения (в которые входит критерий Стентона St).

 

САМОВОСПЛАМЕНЕНИЕ ГАЗА ПЕРЕД ФРОНТОМ ПЛАМЕНИ В ЗАКРЫТЫХ СОСУДАХ И ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ

 

Сформулирована задача о самовоспла­менении газа в замкнутом объеме перед фронтом медленного пламени (рис. 12).

 

 


Рис. 12. Задача о самовоспламенении смеси перед фронтом пла­мени (дефлаграции) в сферическом закрытом сосуде с центральным зажиганием

 

Система, описывающая процесс, включает уравнения: энергии и состояния газа перед фронтом пламени, нормальной скорости пламени и массовой скорости горения, энергии для всей системы (соотношение Льюиса и Эльбе) и кинетики химической реакции (без учета выгорания за период индукции). Эта система сведена к одному уравнению про­цесса в плоскости давление- температура


с краевым условием: p = 1, qu = 1. Здесь bi = Ti/E- малый параметр Д.А. Франк-Каменецкого;


параметр представляющий собой отноше­ние характерных времен фронтального горе­ния и объемной химической реакции (критерий подобия, который ранее не встречался в теории горения). После разложения в (1) экс­поненты по методу Я.Б. Зельдовича и В.В.Воеводского для случая p@pe  получено аналитическое решение вида


Из (2) видно, что при p®p*, qu®¥, от куда, с учетом  = (p*)1-1/g, имеем условие самовоспламенения на пределе, при p*=pe.

 

Далее показано, что в качестве условия (критерия) самовоспламенения может быть принято условие равенство нулю работы сжатия свежего газа, а именно, условие

 

            (4)

 

Подстановка (4) в (1) приводит к критическому условию вида

 

 

которое на пределе при p =pe практически совпадает с условием (3), полученным на основе аналитического решения (2), совпадающего с численным решением уравнения (1) (рис. 13). Если рассматривать самовоспламенение на некотором расстоянии от стенки

d) Выделить три режима протекания процесса сгорания в сосуде: сосуда (p*<pe), то решение (2) и вытекающее из него условие (3) не позволяет рассчитать критическое давление p* (при котором фронтальный режим горения сменяется объемным), поскольку при его выводе опущено выражение в квадратных скобках в уравнении (1), в то же время критериальное условие самовоспламенения (5) справедливо на любом расстоянии от стенки сосуда.

Рассмотрены альтернативные критерии самовоспламенения, отличные от (5), и показано, что все они приводят к критическим условиям, которые значительно завышают, либо занижают значения критического давления p*. Предложенный нами дифференциальный критерий (4) и полученное на его основе критическое условие (5) позволяют определить p* с погрешностью, не превышающей 2-4% (рис 13).

 


Рис. 5.2. Динамика воспламенения в плоскости p - qu системы 9,5 % CH4, + воздух при Ti = 750 К: 1- численное решение ур.(5.1), Vi = 3 м3; 2- то же Vi = 3 дм3; 3 и 4-самовоспламенение с учетом теплопотерь в стенку сосуда, Vi=3 дм3, a = 20 и 100 Вт/м2К; 5- адиабата q = p1-1/g; 6- значения критического давления , рассчитанные по условию (5.5); 7- значения критического давления p*, полученные численным решением уравнения (5.1), 8- аналитическое решение (5.2), Vi = 3 дм3; 9- разогрев соответствует одному характеристическому интервалу.

Анализ решения задачи позволил:

a)      Сформулировать и обосновать дифференциальный критерий самовоспламенения dlnqu/dlnp =1.

b)       Найти предельное (в конце процесса фронтального горения) и текущее (в любой момент времени) условия самовоспламенения для расходящихся одномерных пламен вида u*(v,ui,bi,e,s,Je,g,p*)=(tf/tv)* = 1, из которых следует, что критические параметры (p*) являются функцией динамики процесса.

c)      Установить величину предвзрывного разогрева смеси.

d)      Выделить три режима протекания процесса сгорания в сосуде: фронтальный  - при ue(ui ,pe) £ 1, p*³pe; совместный –при u*(ui,p*) = 1, 1< p* < pe; объемный – при u*(ui,1) = ui ³ 1, p*  = 1.

e)      Провести оценку и показать возможность образования нелинейных волн сжатия при воспламенении.

f)        Исследовать явления вырождения самовоспламенения по параметру bi и за счет теплообмена со стенкой сосуда.

Рассмотрена общая задача о самовоспламенении газа при произвольном законе монотонного адиабатического сжатия  dp/dt = const · f(p,qu) и разработан алгоритм, позволяющий находить критические параметры (p,*) в различных конкретных задачах этого класса.

Рассмотрена задача о самовоспламенении газа впереди фронта пламени в условиях сообщающихся сосудов. Получено критическое условие самовоспламенения газа во втором сосуде, которое может быть представлено функцией характерных времен или уже известных динамических параметров u* и B*,


 

С привлечением наших экспериментальных данных численно показана возможность конкретной реализации рассматриваемого явления. Эффект реализуется по крайней мере при значениях параметров: pe @ 9, W@0,005, B @ 0,2.

Рассмотрена задача о самовоспламенении газа в установке адиабатического сжатия со свободным поршнем (адиабатической пушке) в постановке А. Г. Мержанова (рис. 14). Получено условие самовоспламенения вида u, являющегося отношением характерных времен сжатия поршнем и объемной химической реакции. Рассмотрена обратная задача самовоспламенения газа в адиабатической пушке и обоснован метод определения констант макрокинетики k0,s,E по экспериментальным значениям критического давления p*.

Теоретически обоснована методика экспериментального определения задержки воспламенения топлива в дизеле на установке адиабатического сжатия поршнем (адиабатической пушке).

 


Рис. 14. Принципиальная схема адиабатической пушки: 1- клапан ресивера; 2- выпускной клапан; 3- ресивер с толкающим газом; 4- сжимающий поршень сечением F и координатой x; 5- ствол адиабатической пушки длиной L; 6- окно для наблюдений; 7- исследуемый газ.


Рассмотрены три условия совпадения индикаторных диаграмм и показана принципиальная возможность реализации предлагаемой экспериментальной методики (рис 15). Разработан метод тарировки датчиков давления в динамическом режиме на установке адиа­батического сжатия со свободным поршнем (адиабатической пушке).

Рис. 15. Динамика процесса сжатия в дизеле и в адиабатической пушке при степени сжатия e=16 (кривые 1, 2 и 3) и e=24 (4, 5 и б): 1, 4- n0=3600 мин-1; 2, 5- n0 =1800 мин-1; 3, 6- n0 =900 мин-1. Масса поршня: 1- m = 0,0507 кг;  2-m= 0,2029 кг; 3- m= 0,8115 кг; 4-m= 0,0768 кг; 5- m-0,3071 кг; 6-m= 1,2284 кг.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ. ПРОЦЕССОВ САМОВОСПЛАМЕНЕНИЯ В ДВС

 

Проблема жесткого сгорания - "стука" или детонации в ДВС с искровым зажиганием известна исследователям с конца прошлого века, и ей посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ. Как указывает Д.А. Франк-Каменецкий, важнейшим вопросом при применении теории горения к процессам в двигателях является вопрос о природе детонации в двигателе. Обычно это явление связывают с самовоспламенением последней части горючей смеси. Однако полной ясности в природе явления пока нет. А.С. Соколик отмечает, что выяснение специфических свойств такого самовоспламенения, приводящего к рождению сферической ударной волны, составляет главную, и окончательно до сих пор не решенную проблему теории детонации в двигателях. Существуют различные гипотезы появления стука или детонации в двигателе, например, физические (гидродинамические) возникновение детонации из-за непрерывного ускорения пламени или через возбуждение акустических высокочастотных колебаний и химические - возбуждение ударных волн из-за холодно-пламенных процессов, связанных с распадом гидроперекисей или с самовоспламенением свежей смеси. В последние годы появились новые идеи относительно природы стука, связывающие его с развитием нелинейных волн сжатия в высокотемпературном градиентном поле. Нами сформулирована гипотеза о природе стука или детонации в двигателе как проблема конкуренции процессов фронтального (дефлаграционного) и объемного (адиабатический тепловой взрыв) горения. В такой постановке применительно к закрытому сосуду задача авторами была решена, насколько нам известно, впервые в 1979 году. Применительно к двигателю критерием достоверности предложенной гипотезы должно являться соответствие теории и эксперимента по всему комплексу определяющих параметров процесса.

На основе сформулированной авторами гипотезы о причине стука или детонации в двигателе построена математическая модель процесса фронтального горения в ДВС с искровым зажиганием с учетом процесса самовоспламенения смеси перед фронтом пламени. Система, описывающая процесс, включает уравнения энергии и состояния смеси перед фронтом пламени, динамики давления (энергии всей системы), объема системы и его динамики, массовой скорости горения (для одномерного турбулизированного фронта пламени), макрокинетики химической реакции перед фронтом пламени и зависимость нормальной скорости пламени от давления и температуры:

 

а также начальные условия: j =ji, q = p = w=1, x = h = 0.

Выполнен теоретический анализ процесса и получено приближенное аналитическое решение задачи о самовоспламенении смеси перед фронтом пламени, в том числе критическое условие стука или детонации в двигателе на пределе (в конце сгорания)

 

где Je, Dv, Dp - параметры процесса. Предельное условие самовоспламенения в двигателе получим при j*®jmax , w*®w max , p*®p max. Критическое условие самовоспламенения представляет собой комплекс из характерных времен (процессов фронтального и объемного горения и сжатия поршнем (), а именно,

        Сопоставление теоретических результатов по десяти параметрам двигателя и рабочего процесса с большим числом экспериментальных данных разных авторов подтверждает достоверность предложенной гипотезы возникновения стука или детонации в двигателе как результата конкуренции процессов фронтального и объемного горения (см. таблицу). Результаты численного моделирования рабочего процесса в двигателе с учетом самовоспламенения перед фронтом пламени представлены на рис. 16 и 17.

 

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов

Изменение параметров системы

Модель

Опыт

Кол-во

Ссылок

Повышение pi

   +

   +

   9

Повышение Ti

   +

   +

   8

Увеличение n

   -

   -

   8

Увеличение харак-

терных размеров

   +

   +

   6

Увеличение e

   +

   +

   12

Увеличение |ji|,ei

   +

   -

   +

   8

Отклонение от сте-

хиометрии a>1

   -

   -

   10

Табулизация смеси

  ci > 1

   -

   -

   6

Увеличение Sui

   -

   -

   4

Увеличение скорости

Объемной реакции

   +

   +

   5

Примечание: + способствует стуку,  - подавляет стук

 

На этих рисунках область между двумя верхними огибающими соответствует объемному горению. При варьировании угла зажигания, степени сжатия, коэффициента избытка воздуха и частоты вращения коленчатого вала обнаружено существование полуострова самовоспламенения (в сечениях поверхности отклика при e = const) в плоскости частота вращения (n0) - угол зажигания (j) и наличие предельной частоты вращения n0max (соответствующей мысу полуострова), выше которой стук отсутствует при любом угле зажигания (рис. 18). Сформулирован принцип подбора антидетонаторов: антидетонационная добавка к топливу должна ингибировать низкотемпературную объемную реакцию и промотировать  высокотемпературную  во фронте пламени.

Получены уточненные уравнения энергии для многозонной модели процессов фронтального и объемного горения в закрытом переменном объеме и ДВС, позволяющие создавать замкнутые модели для процессов самовоспламенения и горения и экологических задач в различных реальных системах с учетом детальной кинетики химических реакций (или равновесного состава продуктов горения).

 


 Рис.16. Динамика сгорания в двигателе со стуком или детонацией для ji от –60 до 30 Град п.к.в. при n=2000мин-1: a - e=7; b - e=9


Рис.17. Динамика сгорания в двигателе со стуком или детонацией при n=6000мин-1 (обозначения см. на рис.17)

На базе уравнений энергии для многозонной модели разработана математическая модель самовоспламенения смеси перед фронтом пламени в ДВС с искровым зажиганием на основе приближения детальной кинетики химических реакций (для смесей изооктана и н-гептана с воздухом). Система уравнений процесса кроме уравнений энергии, состояния, сохранения массы и динамики давления включает химический блок, содержащий (33 частицы и 44 реакции). В работе использована сокращенная кинетическая схема, разработанная специалистами ИХФ РАН. Расчеты по этой модели позволят исследовать влияние состава топлива и различных добавок на пределы стука (или детонации).

 


Рис. 18. Поверхности отклика для пределов появления стука или детонации в ДВС с искровым зажиганием в плоскости частота вращения – угол зажигания в зависимости от степени сжатия: 6- e = 8, 9 - e = 7, 8 - e = 8, 9 - e = 9, 10 - e = 10, 11 - e=11; a - a = 1, b - a =1,25

 


Рис. 19. Зависимости задержки воспламенения топлива в дизеле yi, от частоты вращения n при коэффициенте избытка воздуха a: 1,25(1); 1,5(2); 1,75(3); 2,0(4);степени сжатия: 15(5); 18(6); 21(7); 24(8) для углов опережения впрыска топлива y0, Град п.к.в.: -18, -24, -30, -36

Сформулирована и аналитически решена задача о задержке воспламенения топлива в дизеле в процессе адиабатического сжатия поршнем как модельная задача о периоде индукции динамического теплового взрыва. Критическое условие самовоспламенения для определения давления p* (с помощью которого может быть найден период индукции ti)

представляет собой отношение характерных времен процессов сжатия поршнем t и объемной химической реакции  а именно

проведены численные расчеты задержек воспламенения топлива (периода индукции) от параметров процесса. Полученные зависимости периода индукции, определяемые полученными расчетными формулами, удовлетворительно согласуются, с известными экспериментальными данными (рис. 19).

Построена математическая модель для расчета задержки воспламенения топлива в газодизеле, работающем на СПГ, в рамках гипотезы о независимости макрокинетических реакций окисления газового и дизельного топлива в локальном объеме вблизи поджигаемого им факела. Эта модель является исходной для разработки соответствующей модели с учетом детальной кинетики химических реакций.

Предложена гипотеза о возможной жесткой работе газодизеля на заключительных этапах процесса горения заряда. Рассмотрена элементарная модель динамики выгорания заряда запальной порции дизельного топлива, основанная на закономерностях горения одиночной капли. Построена математическая модель рабочего процесса в газодизеле, работающем на СПГ, с учетом возможности самовоспламенения смеси в локальном объеме вдали от очагов горения, позволяющая определить область нормальной (без самовоспламенения) работы двигателя и допустимые конструктивные и термодинамические параметры двигателя и рабочего процесса.

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ В ДВС

 

На основе закономерностей взрыва газа в сообщающихся сосудах, исследованных автором, построена математическая модель процесса сгорания смеси в ДВС с форкамерным зажиганием, Рассматривается процесс медленного адиабатического фронтального горения перемешанной смеси, инициированной в центре камеры 1 сферической формы (форкамеры), объемом V1 и камеры двигателя, начальным объемом V2i, сообщающихся каналом сечением F. Предполагается, что пламена в камерах 1 и 2 относятся соответственно к сферическому и плоскому видам. Деформация и турбулизация фронта пламени учитывается коэффициентами c1и c2как увеличение эффективной поверхности пламени, распространяющегося с нормальной скоростью Su .Численные расчеты и экспериментальные исследования двухкамерных систем показывают применимость предложенного подхода для описания процесса горения в ДВС с форкамерой.

Разработана математическая модель процесса сгорания смеси в ДВС с искровым зажиганием с учетом равновесного состава продуктов горения в рамках многозонной модели (до 10 и более зон) с целью прогнозирования выбросов вредных веществ в атмосферу (включающих CH4, CO, NO, NO2, HCN, NH3, HNO3 и другие) и выработки мероприятий по их снижению. Рассматривается горение углеводородного топлива (в состав которого может входить также азот и кислород) в воздухе средней влажности. В продуктах горения учитываем 19 компонентов: O2, N2, H2O, Аг, СО2, СH4, Н2, С, О3, О, N, Н, ОН, СО, NO, NO2, HCN, NH3, HNO3, C20H12. Реакция сгорания одного моля смеси записывается с учетом числа атомов С, Н, N, О в молекуле горючего. Система уравнений процесса, кроме уравнений объема системы (и его динамики), состояния свежей смеси и продуктов горения, баланса объема системы, энергии свежей смеси (и его интеграл), массовой скорости горения и динамики давления (энергии всей системы), включает химический блок с уравнениями сохранения числа атомов в начале процесса и в продуктах горения и текущего баланса массы (выраженных через мольные доли компонентов смеси), следующие 14 уравнений равновесия:

Константы химического равновесия K1K14 являются функциями текущей температуры продуктов сгорания и рассчитываются на основе термодинамического уравнения изобары реакции (dlnKp/dT)m=(D)m/RT для каж­дой т-m реакции. При этом для определения температурной зависимости энтальпии реак­ции D используется не свободная энергия

G, а приведенная энергия Гиббса Ф.

Проведены численные исследования особенностей динамики сгорания смеси и экономические показатели ДВС с искровым зажиганием при различных одномерных законах изменения поверхности пламени и их модификациях в симметричной камере с реальной геометрией (рис. 20). Показано, что среди различных типов одномерных пламен для описания процессов горения в двигателе ближе всего к реальному закону приближаются модели плоского и цилиндрического расходящегося пламени (причем последняя модель предпочтительнее), другие виды одномерных пламен для этой цели, по-видимому, непригодны. Для рассмотренного диапазона изменения параметров процесса для этих пламен получены значения фактора турбулизации пламени, которые могут быть использованы при моделировании.

Следует отметить, что длительность процесса сгорания в двигателе, выраженная углом п.к.в. j, практически не зависит от частоты вращения n0 в широких пределах. Автомодельность индикаторной диаграммы объясняется тем, что скорость турбулентного пламени, в основном, определяется скоростью турбулентного переноса, которая согласно экспериментальным данным пропорциональна средней скорости поршня и слабо зависит от нормальной скорости пламени. Динамики процесса сгорания при различных степенях сжатия e в единицах принятого в работе безразмерного давления также практически совпадают (поскольку Q, pe и Je не зависят от e).

Исследовано влияние формы камеры сгорания и места расположения точки зажигания на динамику сгорания смеси и индикаторный КПД цикла. Рассмотрены симметричная камера сгорания с симметричным расположением точки зажигания (Модель 1, рис. 20) и асимметричная камера с удаленной точкой зажигания (Модель 7, рис. 21). Математические модели рабочего процесса близки к модели, рассматривающей самовоспламенение смеси перед фронтом пламени в ДВС с искровым зажиганием, за исключением объемной реакции. Кроме того, они учитывают процесс распространения турбулизированного фронта пламени в сферических сечениях камеры сгорания и являются строгими (не используют опытных данных).  Для  реальной  геометрии  пламени  (Модель 1)  функция площади пламени f(p) = 4Ff /ПD2 определяется в зависимости от текущих значений координаты фронта пламени гf, поршня z, = (4ei,VcD2)w = Heiw и объема продуктов горения Vb =  из уравнений, решаемых методом дихотомии. Для реальной геометрии (Модель 7) соответствующие уравнения для определения функции площади пламени значительно сложнее и включают неполные и полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода в нормальной форме Лежандра (практически решаемые методом прогонки). Для реальных геометрий пламени (Модели 1 и 7) расчетные индикаторные диаграммы также практически не зависят от частоты вращения n0 (автомодельны), причем максимум давления в асимметричной камере сгорания (Модель 7) лежит значительно ниже, чем в симметричной (Модель 1), а длительность процесса сгорания в Модели 7 почти в два раза больше, чем в Модели 1. Индикаторный КПД реальных циклов сгорания значительно меньше, чем идеализированного цикла Отто, определяемого уравнением .


Рис. 20. Распространение фронта пламени в симметричной камере сгорания (Модель 1) в двигателе с искровым зажиганием: rf, - радиус сферического фронта пламени; z -координата поршня; D- диаметр поршня; Н- высота камеры сгорания; Sp.plug - точка, в которой происходит зажигание смеси.


Рис.21. Распространение фронта пламени в асимметричной камере сгорания (Модель 7) в двигателе с искровым зажиганием (обозначенная см. на рис 20)

Симметричная камера сгорания (Модель 1) с симметричным расположением точки зажигания намного эффективней асиметричной (Модель 7) и, по видимому, оптимальна для конструктивных решений. КПД реальных циклов значительно ниже, чем цикла Отто. Зависимость КПД от частоты вращения n0 слабая, а от угла зажигания ji, - сильная и имеет

максимум при ji » 20 Град п.к.в. для Модели 1, а для Модели 7 этот максимум расположен дальше от ВМТ (при ji » -40 Град п.к.в.) и имеет значительно больший градиент на графике. Необходимо отметить, что стремление к повышению КПД цикла путем повышения степени сжатия e и варьирования угла зажигания ji (приближение к максимуму), встречает препятствие в виде возникающего при этом явлении стука (или детонации) в двигателе.

Построена замкнутая математическая модель процесса горения смеси в ДВС с искровым зажиганием с учетом процессов конвективного и радиационного теплообмена (Модель 1Т). Постановка задачи соответствует Модели 1 с изменениями, связанными с неадиабатичностью процесса. При наличии двух зон необходимо записать два термических и два калорических уравнений состояния (одно из которых является уравнением динамики давления), а также учесть процессы теплообмена этих зон с элементами ограничивающих поверхностей. За начальные параметры принимаются параметры системы в момент зажигания, соответствующий углу п.к.в. ji. В целях экономии места ограничимся только уравнениями энергии и относительных скоростей конвективного и радиационного теплообмена:

где Stj. = St(aj ),Bo-1- критерии Стентона и Больцмана (модифицированный).

Радиационный теплообмен рассчитывается по закону Стефана-Больцмана. Свежую смесь считаем прозрачной, а продукты горения излучающей и ослабляющей средой. Использована модернизированная формула для лучистого теплообмена между двумя серыми поверхностями в замкнутом пространстве, когда одна из поверхностей облекает другую, использующая приведенную степень черноты , учитывающую процессы переизлучения энергии между элементами поверхностей и их различную температуру.