ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА “ДИАКОПТИКИ” СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ МАТРИЦ КЛАСТЕРОВ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА СВОЙСТВ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ.

Иордан В.И., Евстигнеев В.В.

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

В данной статье рассматривается проблема, связанная с квантово-механическими расчетами свойств больших кластеров, моделирующих физические свойства неупорядоченных систем. В современной физике твердого тела важную роль играет изучение некристаллических веществ, а также неупорядоченных сплавов в кристаллическом состоянии, свойства которых в некоторых отношениях близки к свойствам идеальных кристаллов, а в некоторых – резко отличны от них. К тому же в прикладных задачах исследования свойств кристаллов используется не идеальный трехмерный кристалл с бесконечно повторяющимся в пространстве структурным элементом – элементарной ячейкой, а исследуются свойства конечных кристаллов, которые в силу наличия граничных поверхностей имеют поверхностные дефекты и, как правило, дефекты внутренней структуры вследствие реального процесса их кристаллизации. Следовательно, в квантово-механических расчетах свойств и структуры кристаллов (а также неупорядоченных сплавов в кристаллическом состоянии) вместо идеальной элементарной ячейки необходимо использовать кластер, размеры и структура которого учитывает распределение дефектов и неупорядоченность по всему объему вещества.

Все же, если раньше было принято делить макроскопическую физику, с одной стороны, на физику жидкостей и газов , а с другой – на физику твердого тела (имелись в виду кристаллы), то теперь [1, 2, 3] чаще говорят, с одной стороны, о физике газов (и плазмы), а с другой – о физике конденсированного состояния, причем это понятие включает кристаллы, жидкости и аморфные твердые тела.

Так, основным свойством как кристаллических, так и жидких и аморфных металлов является наличие электронов проводимости. В ионных кристаллах ионы располагаются по узлам решетки, для которой ближайшие узлы заняты ионами разного знака, притяжение между которыми более сильное, чем отталкивание между более удаленными ближайшими ионами одинакового знака (электростатическая гетерополярная связь). В металлах, их сплавах и соединениях равновесная структура, в основном, определяется электронной проводимостью, что объясняет высокую электро- и теплопроводность. С понижением температуры удельное электросопротивление металлов (их сплавов и соединений) падает. Это позволяет предположить, что бывшие валентные электроны металла образуют весьма подвижную систему электронов проводимости, или “электронную жидкость”, легко ускоряемую в электрическом поле. Кулоновские силы затухают с расстоянием медленно (пропорционально ), энергию связи и тип решетки нельзя определить исходя из парных, центральных и короткодействующих сил. В квантово-механичес-ких расчетах необходимо учитывать и дальний порядок взаимодействия. По-видимому, именно благодаря этому, устойчивые кристаллические структуры металлов, их сплавов и соединений часто оказываются гораздо сложнее, чем в случае ионной и ковалентной связи.

В ковалентных материалах (полупроводниках) определяющей является ковалентная гомеополярная связь, требующая квантового описания химической связи и учет только ближнего порядка, то есть свойства локального окружения выделенного атома, меняющиеся при плавлении кристалла или при переходе в аморфное состояние, меняются несущественно.

Для описания неупорядоченных систем с помощью кластеров могут использоваться и модели молекулярных кристаллов (кристаллы с водородной связью), одномерные и двумерные системы, квантовые кристаллы. В молекулярных кристаллах силы связи внутри молекул, располагающихся по узлам решетки, оказываются заметно больше кристаллических сил связей между молекулами. Поскольку электронные оболочки молекул, как правило, замкнутые, то межмолекулярные силы в кристалле носят поляризационный характер (силы Ван-дер-Ваальса, которые также учитываются как малая поправка и в ионных кристаллах). Их все же можно приближенно считать парными, центральными и короткодействующими (потенциальная энергия этих сил пропорциональна ). Представителями молекулярных кристаллов являются молекулярные водород , кислород и азот, инертные газы, галоиды и огромное число органических соединений вплоть до сложнейших биологических систем. Кристаллы с водородной связью являются кристаллами молекулярного типа, однако связь в них осуществляется “обобществленным” протоном (ион атома водорода), то есть носит ионный характер (водород отдает электрон соседнему атому, превращая его в отрицательный ион). Малые размеры протона снижают число его ближайших соседей до минимального, то есть до двух. Водородные и ван-дер-ваальсовские связи играют огромную роль в биологии, в формировании структуры белков и нуклеиновых кислот.

Большой интерес за последнее время вызывают квазиодномерные системы – атомные цепочки, длинные молекулы с сопряженными связями. Эти системы имеют большой практический интерес как составные части в ряде биологических активных молекул (например, витамин А, хлорофилл и т.п.), а также некоторые полупроводники, катализаторы и т.п. Интерес представляют также двумерные системы – так называемые слоистые кристаллы (когда связь внутри плоского слоя заметно больше связи между соседними слоями), а также пленки одноатомной толщины. В низкоразмерных структурах особенно существенно взаимодействие электронов друг с другом и с решеткой; часто происходят электронные фазовые переходы.

Квантовые кристаллы – это кристаллы двух изотопов гелия, в которых амплитуда квантовых нулевых колебаний не мала по сравнению с параметром решетки. К этому типу твердых тел также можно, в известном смысле, отнести и кристаллы инертных газов от неона до ксенона. В таких кристаллах существенной особенностью обладают явления переноса, такие, как диффузия, и другие.

В отдельных случаях можно предположить, что для описания неупорядоченных систем “архитектура” кластера должна синтезироваться в виде гибридной конфигурации вышеупомянутых моделей кристаллов (из более простых кластерных структур) с помощью определенного метода декомпозиции, например, используя метод “диакоптики” спектра собственных чисел матриц, идея которого изложена ниже, а подробнее в [4, 5].

Вместе с тем неупорядоченные системы (некристаллические конденсированные тела и кристаллические неупорядоченные сплавы) обладают рядом специфических свойств. С математической точки зрения они все связаны со случайным характером потенциала электрон–ионного взаимодействия, который вызван неупорядоченным, флуктуирующим расположением ионов. Неупорядоченные системы, как и кристаллы, можно описывать с помощью представления о “квазичастицах”, однако их состояния уже нельзя определять с помощью квазиимпульса. Они характеризуются теперь, вообще говоря, случайными величинами, меняющимися при переходе от одной реализации потенциала к другой. Некоторые характеристики обладают свойством самоусредняемости, то есть утрачивают свой случайный характер и становятся достоверными при обычном в статистической физике переходе к бесконечно большим системам (размеры кластера в этом случае становятся очень большими). Это дает возможность делать в принципе точные количественные предсказания, но и требует разработки совершенно особых методов поиска и вычисления таких величин [1, 2].

Следует обратить внимание на такие неупорядоченные системы, как аморфные материалы или сплавы с хаотическим распределением компонентов по узлам кристаллической решетки, которое предопределяет неравновесность состояний. Такие состояния не отвечают минимуму свободной энергии и являются метастабильными (хотя, возможно, с очень большим временем жизни). Как правило, их все же можно описывать термодинамическими переменными (температурой, давлением, химическим потенциалом и т.д.), но зависимость свойств от времени и от предыстории образца (старение сплавов, так называемая структурная релаксация в аморфных металлах и т.д.) указывают на неполноту и ограниченную применимость такого описания.

Возвращаясь к описанию неупорядоченных систем с помощью равновесных состояний, исследование макросвойств разбивается на два этапа: квантовомеханический и квантовостатистический. На первом этапе находят энергетический спектр системы и соответствующие ему волновые функции стационарных состояний. На втором при рассмотрении равновесных свойств определяют статистическую сумму, а затем какой – нибудь термодинамический потенциал как функцию соответствующих термодинамических переменных. В случае кинетических задач приходится прибегать к решению кинетических уравнений, например, типа уравнений Больцмана или каких – либо более сложных. На первом этапе используется уравнение Шредингера, которое для стационарных состояний кластерной системы имеет вид

 

, (1)

где

(2)

есть оператор Гамильтона системы, в котором первое слагаемое – кинетическая энергия ядер или остовов; второе – кинетическая энергия электронов; третье – потенциальная энергия притяжения электронов с ядрами (ионными остовами); четвертое – энергия кулоновского отталкивания между остовами; пятое – энергия кулоновского отталкивания между электронами; - энергия стационарных состояний системы.

- волновая функция динамических переменных всех частиц в адиабатическом приближении, где - описывает эволюцию электронного состояния при адиабатическом изменении параметров , определяющих систему ядер или остовов, позволяет решать задачу для электронной подсистемы отдельно, то есть ее оператор имеет вид

. (3)

Однако и в этом приближении решение уравнения Шредингера встречает огромные математические трудности, так как невозможно использовать метод Фурье разделения переменных. В методе самосогласованного поля Хартри – Фока линейная многочастичная задача сводится к нелинейной одночастичной, успешно решаемой в задачах многоэлектронных атомов и молекул. В кристаллах его использование связано с большими трудностями. Иногда просто принимают, что усредненное взаимодействие Хартри – Фока каким – либо образом включено в потенциальную энергию электрона относительно ионных остовов. Замена в (3) последнего члена, затрудняющего решение уравнения, обменно – корреляционным потенциалом Слэтера позволяет облегчить зонные расчета твердого тела (- метод Слэтера). Известен метод ЛКАО и его модификация, в которой в качестве базиса разложения используются ортогонализованные плоские волны (ОПВ), определившие концепцию метода “псевдопотен-циала” в физике твердого тела. Метод функций Ванье и метод “присоединенных плоских волн” (Слэтер), использующий ячейку Вигнера – Зейтца с потенциалом МТ – сферы, а также метод функций Грина или метод Корринга – Кона – Ростокера (ККР), метод функций Блоха также эффективны в зонных расчетах кристаллов. Кроме перечисленных методов Хартри – Фока – Слэтера, широко распространен метод “унитарных преобразований”, в котором гамильтониан (3) подвергают унитарному преобразованию, переходя к новым координатам с целью добиться того, чтобы член с межэлектронным взаимодействием стал малым. То есть задача сводится к сумме одночастичных задач с малым возмущением. В преобразованном гамильтониане присутствуют “квазичастицы”, в которых включено, по крайней мере частично, взаимодействие исходных частиц. Эти квазичастицы называют “коллективными возбуждениями”, которые связаны не с движением отдельной исходной частицы и ее облака, а с коллективным движением всей системы как целого. Как уже отмечалось выше, использование подхода “квазичастиц” эффективно в расчетах свойств неупорядоченных систем. Известными примерами коллективных возбуждений являются: фонон – квант звуковых колебаний ионной решетки, а также плазмон – квант колебаний электронной плотности в кристалле и многие другие. Уравнение Шредингера в приближениях перечисленных выше методов преобразуется путем домножения на сопряженную волновую функцию и интегрированием по r с последующим приравниванием вариации функционала к нулю, а именно:

, (4)

 

где - определяет конфигурацию кластера, - одночастичный гамильтониан, E - энергия состояния, соответствующего одночастичной волновой функции кластера, которая представима через разложение в определенном базисе (не обязательно ортонормированных) функций

. (5)

С учетом (4), имея в виду варьирование по коэффициентам разложения Cj, имеем систему уравнений

, (6)

где элементы матрицы Фока

и интегралы перекрывания базисных функций

, которые в случае ортонормированного базиса определяют собой единичную матрицу. Матрицы H и S, состоящие из элементов, соответственно, Hi,j и Si,j, являются симметричными. Определение энергий стационарных состояний Ek связано с решением задачи (6) , которая выражает собой задачу на собственные числа. Собственные числа и соответствующие им собственные векторы , как правило, определяют различными методами диагонализации матриц, использующими унитарные преобразования вращений (отражений). В случае ортонормированного базиса (матрица S - единичная) необходимо диагонализировать только лишь симметричную матрицу H, в противном случае необходимо приводить несимметричную матрицу к треугольному виду, на диагонали которой будут располагаться собственные числа , либо решать задачу (6) другими методами.

Следует отметить, что задача динамики ионной решетки в гармоническом приближении также решается с помощью диагонализации матрицы “силовых констант”.

Несмотря на то, что во многих случаях матрицу H или удается привести, соответственно, к трехдиагональному виду или к почти треугольной форме (форма Хессенберга) с помощью не очень значительного объема вычислительных операций, последующее приведение к диагональному виду или к треугольному виду составляет значительную долю (приблизительно до 70-80%) в общем объеме вычислений в процессе решения квантовомеханической задачи. Для больших кластеров задача в практическом аспекте вычислений становится нереальной. Поэтому разработка методов декомпозиции задачи на собственные числа, которые позволяли бы поэтапно понижать размерность матриц кластерных систем и тем самым решать задачу по частям при условии повышения скорости вычислений “на порядок” за счет уменьшения “на порядок” общего объема вычислений, является очень актуальной задачей не только в данной области , но и в других областях научных исследований.

Алгоритм “затухающего маятника” метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга

(почти треугольных матриц)

В качестве исходной матрицы A будем рассматривать матрицу в верхней форме Хессенберга (правая почти треугольная форма).

(7.а) (7.б)

 

Обозначим исходную произвольного порядка n матрицу A, структура которой изображена выше, через A(0) (в структуре (7.а) ей соответствует k=1) и преобразованную в конце каждой k-й “прямой” большой итерации (БИ) через A(k), которая также сохраняет верхнюю форму почти треугольной матрицы. В данном случае верхняя клетка - клетка m-го порядка, нижняя клетка- клетка (n-m)-го порядка имеют также верхнюю почти треугольную форму, где m = [n/2] и [n/2] – целая часть от n/2. Элемент “связи” клеток b(k-1) обозначает элемент в нижней клетке , в которой кроме этого элемента остальные равны нулю.

Последующая за k-й “прямой” БИ “обратная” (k+1)-я БИ, преобразующая “снизу вверх” матрицу A(k), отображенную в структуре (7.б), в матрицу A(k+1), также сохраняет верхнюю форму почти треугольной матрицы. Здесь верхняя клетка - клетка (m-1)-го порядка и нижняя клетка - клетка (n-m+1)-го порядка, а элемент “связи” клеток b(k) обозначает элемент . Для разделения матрицы на несвязные матричные клетки необходимо добиваться асимптотического зануления внедиагональных элементов “связи” клеток b(k-1) и b(k) в средней части матрицы (или в средней части отдельной несвязанной клетки), то есть при k → ∞ для k-й “прямой” БИ и для (k+1)-й “обратной” БИ элементы, соответственно, и стремятся к нулю . Далее процесс диакоптики применяется для каждой отдельной несвязанной клетки.

Для того, чтобы обеспечить асимптотическое стремление к нулю элементов b(k-1) и b(k) при k → ∞ , предлагается предварительно перед k-ой “прямой” БИ и перед (k+1)-й “обратной” БИ каким-либо методом определять собственные числа и , соответственно, клетки для k-й “прямой” и клетки для (k+1)-й “обратной” БИ . Например, с помощью алгоритма “двойной QR-итерации с двумя неявными сдвигами Уилкинсона“ собственные числа и клетки можно определить практически за три - пять итераций. В качестве неявных сдвигов выбирают те два собственных значения нижнего блока 3-го порядка

 

,

 

которые ближе к собственным значениям нижнего блока 2-го порядка. Эти два собственных числа и позволяют начать выполнение k-й “прямой” БИ с помощью преобразования , определяемого по первому столбцу матрицы

 

Φ= ,

а именно:

= ;

; ; ;

, .

Так как первый столбец матрицы Ф содержит лишь три ненулевых элемента

;

;

,

то столько же ненулевых элементов () будет и у вектора U. Поэтому после преобразования клетки с помощью структура клетки будет иметь ненулевые элементы, выступающие за побочную диагональ в нижней части клетки. Выступы, обозначенные на рис.1 ниже через символ “z” , можно сгонять за пределы матрицы методом Хаусхолдера или методом Гивенса то есть последовательность матриц преобразований {: i = 2,3,..., n-1} вместе с матрицей образуют для “прямой” k-й БИ результирующую матрицу преобразования Q в виде

 

Q= (8)

 

Рис. 1. Структурная схема k-й “прямой” БИ

После (m-2)-го шага (в нашем примере после 3-го шага) с матрицей преобразования , если строится с помощью элементарных вращений в плоскостях (m-1, m) и (m-2, m-1) по методу Гивенса, элемент на месте равен произведению и после (m-1)-го шага с помощью (на рис.1 с помощью ) он перемещается на место , то есть

=||, (9)

где и - обозначения синусов вращений, соответственно, в плоскостях (m-1, m) и (m-2, m-1) на (m-2)-м шаге k-й “прямой” БИ. Преобразование совпадает с вращением в плоскости (m-1, m+1) , в котором косинус угла вращения равен 0 и модуль синуса равен 1 . Дальнейшие сгоны выступов с помощью преобразований {: i = m, m+1,..,n-1} завершают k-ю “прямую” БИ и обеспечивают сохранение формы Хессенберга для .

Из (9) следует вывод о том, что в результате k-й “прямой” БИ, состоящей из последовательности преобразований {H : i = 1,2,... n-1}, результирующее для предыдущей (k-1)-й “обратной” БИ значение элемента , уменьшаясь по модулю вследствие умножения на модули значений синусов, переходит из позиции на пересечении (m+1)-й строки и m-го столбца в верхнюю позицию на пересечении (m-1)-й строки и (m-2)-го столбца.

Перед (k+1)-й “обратной” БИ предварительно определяются собственные значения клетки так же, как и для k-й “прямой” БИ с помощью алгоритма двойной QR-итерации с двумя неявными сдвигами и . В качестве неявных сдвигов и выбираем те два собственных числа верхнего блока 3-го порядка

,

ближайших к собственным числам верхнего блока 2-го порядка клетки . Затем в качестве (k+1)-й БИ осуществляется “обратная” БИ в виде последовательности преобразований { : i = 1, 2,...,n-1}, которые преобразуют “снизу вверх” матрицу в матрицу через результирующую матрицу преобразований Q, определяемую по аналогичному соотношению (8). Преобразование с учетом “обратного хода” преобразований определяется по последней строке матрицы

Ф=,

а именно:

= ;

; ; ;

, .

Так как последняя строка матрицы Ф содержит лишь три ненулевых элемента

;

;

,

то столько же ненулевых элементов () будет и у вектора U. После первого преобразования , в результате которого в клетке ниже побочной диагонали появляются ненулевые элементы (выступы), которые сгоняются преобразованиями Хаусхолдера или вращениями Гивенса за пределы матрицы. И аналогично прямой БИ, но только уже с учетом возврата в свою прежнюю позицию, элемент связи клеток

=||, (10)

где и - обозначения синусов вращений, соответственно, в плоскостях (m-1, m) и (m, m+1) на (n-m)-м шаге (k+1)-й “обратной” БИ.

Доказательство сходимости алгоритма

Последовательное чередование “прямой” и “обратной” БИ согласно (9) и (10) обеспечивает последовательное приближение к нулю меняющего по принципу “затухающих колебаний” свое положение элемента “связи” клеток из позиции на пересечении (m+1)-й строки и m-го столбца в позицию на пересечении (m-1)-й строки и (m-2)-го столбца в результате “прямой” БИ и обратно в исходную позицию в результате “обратной” БИ. Сходимость к нулю элемента “связи” клеток при k→ ∞ абсолютно гарантирована в силу того, что в соотношениях (9) и (10) синусы углов вращений ограничены по модулю:

и ,

так как вращение в плоскости (m-2, m-1) на (m-2)-м шаге k-й “прямой” БИ и вращение в плоскости (m-1, m) на (n-m)-м шаге (k+1)-й “обратной” БИ являются вращениями Якоби с учетом достаточно точного определения сдвигов и . Следовательно, условие ограниченности синусов вращений по модулю значением, приблизительно равным 0.71, строго меньшим единицы, и соотношения (9) и (10) определяют абсолютно устойчивую рекуррентную схему с наличием так называемого “сжимающего” оператора, гарантирующего абсолютную сходимость и абсолютную численную устойчивость алгоритма диакоптики спектра почти треугольных матриц.

Определим число операций, необходимых для полного завершения процесса диакоптики спектра почти треугольных матриц следующим образом.

Предварительный шаг в каждой “прямой” и “обратной” БИ для определения и клеток и размерности m = требует операций. Одна БИ требует операций, поэтому в сумме имеем операций, где . Если через обозначить число итераций, необходимых для одного этапа разделения матрицы (клетки) на две клетки, то один этап разделения требует операций, где . Отметим, что и, следовательно, от размерности исходной матрицы ( а также и ее клеток) не зависят. Далее, для каждой из двух несвязных клеток (размерность каждой ) вычислительные затраты на дальнейшее их разделение равны, соответственно, по . То есть два этапа диакоптики (в результате имеем 4 клетки, каждая размерностью по ) дают затраты

.

Продолжение процесса определяет полные затраты в количестве операций

M

=,

где

приблизительно равна сумме “членов убывающей геометрической прогрессии” с общим “знаменателем прогрессии”

и p = .

В последнем и выше выражениях скобки [ ] обозначают целую часть от выражения. С учетом “известного” тождества для “суммы членов убывающей геометрической прогрессии” можно записать

.

В нашем случае . Следовательно, в качестве “достоверной” оценки можно принять , а для общих вычислительных затрат

M. (11)

Напомним [4, 5], для алгоритмов QR-метода и других быстродействующих методов при определении собственных чисел вычислительные затраты пропорциональны величине . Таким образом, теоретическая оценка, содержащаяся в (11), доказывает то, что быстродействие предлагаемого здесь алгоритма диакоптики спектра собственных чисел почти треугольных матриц оказывается выше в раз быстродействия QR-метода и других методов. Для трехдиагональных матриц изложенный выше алгоритм по своей сути тот же, однако вследствие более простой структуры таких матриц по отношению к почти треугольным матрицам вычислительный алгоритм оказывается более простым в своей реализации [4, 5]. Вычислительные затраты для трехдиагональных симметричных матриц [4, 5] равны . Результаты численных экспериментов подтверждают этот вывод.

Пpименение паpаллельных матpичных пpоцессоpов для декомпозиции почти треугольных матриц может дополнительно уменьшить оценку (11) с величины, пpопоpциональной , до величины, пpопоpциональной , то есть выравнить с затратами для трехдиагональных матриц.

Важно отметить тот факт, что пpоцесс диакоптики обеспечивает возможность паpаллельно и одновременно нескольким процессорам обpабатывать уже разделенные несвязные клетки исходной матрицы, то есть пpедоставляет возможность использовать многопpоцессоpную аpхитектуpу паpаллельных матpичных пpоцессоpов или эффективно pаспpеделять и загpужать pесуpсы “алгоpитмически стpуктуpиpованной многопpоцессоpной сети”, в состав котоpой могут входить многопpоцессоpные и однопpоцессоpные (или только однопpоцессоpные) вычислительные сpедства, что позволяет дополнительно ускоpить вычисления.

Хотя настоящая pабота и не посвящена технологии pазpаботки вычислительных многопpоцессоpных систем обpаботки инфоpмации, но она может быть полезной в плане математического и алгоpитмического аспектов создания pазличных конфигуpаций вычислительных систем обpаботки сигналов и дpугой инфоpмации, так как непpеpывно возpастают тpебования к скоpости пpоцесса обpаботки сигналов (напpимеp, для вычислений в pеальном масштабе вpемени) и “pеальные” пpикладные задачи тpебуют исследования “сложных” систем (соответствующие им матpицы хаpактеpизуются очень большими поpядками: ).

Метод диакоптики спектра собственных чисел матриц может представлять значительный интерес в задачах изучения межмолекулярных взаимодействий и образования химической связи различных молекулярных систем (частиц) с поверхностью твердого тела. То есть, не завершая процесс диакоптики спектра энергий матрицы Фока, а осуществив лишь только один этап разделения матрицы Фока на две клетки, соответствующих кластеру твердого тела и взаимодействующей с ним частицы, можно по “следу” каждой из разделенных несвязных клеток сделать вывод о возможности (либо невозможности) образования химической связи частицы с поверхностью твердого тела. А именно, если “след” хотя бы одной из разделенных клеток имеет строго положительное значение, то химическая связь не образуется. Имеется в виду свойство, согласно которому “след”, равный по определению сумме диагональных элементов матрицы (в нашем случае, клетка), должен быть равен сумме собственных чисел (в данном случае, сумме энергий состояний подсистемы). Тем самым, очень большой объем вычислений нет необходимости производить.

Таким образом, метод диакоптики спектра собственных чисел матриц дает возможность осуществлять и корректную физическую постановку задач. Поэтому внедpение метода диакоптики спектpа матpиц для исследования сложных систем является очень актуальным.

Литература

  1. Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика тела. – М.: Наука, 1983.- 336 с.
  2. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. – М.: Наука, 1982.
  3. Бонч – Бруевич В.Л., Звяткин П., Кайпер Р. и др. Электронная теория неупорядоченных проводников. – М.: Наука, 1981.
  4. Иордан В.И. Метод диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга.– Барнаул, 1990.–18с.–Рукопись пред. Алт. госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 20.06.90, № 3536 – В90.
  5. Иордан В.И. Алгоритм “затухающего маятника” метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга // Международная конф. “Всесибирские чтения по математике и механике”: Тез.докл., Т.1., “Математика”. – Томск: Изд – во ТГУ, 1997. – 289 с.