ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛА ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ

ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКОЭЛЕКТРОННОМ ПРИБОРЕ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОЭЛЕМЕНТНОГО

ФОТОПРИЕМНИКА

С.П. Пронин

В настоящей статье исследовано влияние аппаратной функции измерительного ОЭП на распределение заряда. Полученные результаты дают возможность провести анализ изменения крутизны пограничной кривой, найти предел геометрического подобия и выбрать по расчетным данным оптимальное сочетание элементов измерительной цепи ОЭП.

В качестве математической модели применяется классическая модель вида

+ ¥

g(x,y)=òò¦(x,h)exp{-[(x-x)²+(y-h)²]/2s²}dxdh . (1)

-¥

1. Теоретическое исследование изменения крутизны пограничной кривой в изображении щели. Предел геометрического подобия

Данная задача решается в одномерной области. Полагая в формуле (1) y = h = 0, а так же принимая во внимание объект измерения в виде функции прямоугольного импульса, получим равенство

+ а/2

g(x)=òò¦(x)exp{-[(x-x)²/2s²]}dx, (2)

-а/2

где а –идеальный размер изображения щели на выходе измерительного ОЭП. Интеграл в исходной формуле - табличный

_

+ x Öp

ò exp ( b² y² ) dy = ¾ erf (bx), (3)

2b

поэтому решением является выражение

g(x)=sÖp/2{erf [(x+а/ 2)/sÖ2]-erf[(x- а/2)/sÖ2], (4)

где функцию erf (…) называют интегралом вероятности. Выполним нормировку координаты x относительно точки геометрической границы

x = а/2 (вынесем а/2 за скобки в функции интеграла вероятности). Тогда множеству размеров изображений будет соответствовать лишь один единичный размер идеального изображения, с которым удобно сравнивать изображения с нерезкими границами.

Обозначим отношение размера изображения а к диаметру кружка рассеяния 2s через величину y

y = а / 2s . (5)

Нормируя формулу (4) относительно ее максимального значения, которое она достигает в точке x = 0, получим нормированную функцию изображения в виде

g(z)_Н={erf[(z+1)y/Ö2]-erf[(z-1)y/Ö2]}/2erf(y/Ö2), (6)

где z = 2 x / а.

На рис.1. представлено семейство графиков пограничной кривой в изображении объекта при различных соотношениях параметра y . Из рисунка видно, что характер пограничной кривой полностью определен этим параметром. Допустим, что ширина аппаратной функции ОЭП остается неизменной в процессе измерения и равна величине s. В этом случае изменение крутизны пограничной кривой может происходить за счет изменения размера а объекта измерения. С уменьшением его размера уменьшается значение параметра y и, следовательно, уменьшается крутизна пограничной кривой.

Полученный результат хорошо согласуется с теорией Аббе, которая утверждает, если оптическая система будет пропускать всего лишь один главный максимум, то в плоскости изображения получим равномерную освещенность. Именно эта тенденция и прослеживается на рис.1 при уменьшении параметра y.

Поскольку вся цепь элементов измерительного ОЭП представляет собой низкочастотный фильтр, полученные выводы справедливы как для основных элементов прибора в отдельности, так и для всего ОЭП в целом.

Чтобы найти численное значение предела геометрического подобия, необходимо определить изменение сигнала на границе изображения. Границе изображения соответствует координата z = 1. Подставляя это значение в формулу (6), получим

g(1) _Н = erf (2 y / Ö 2 ) / 2 erf (y /Ö 2 ), (7)

Из последнего математического выражения видно, что при y ® ∞, функция g(1)_Н принимает значение g(1) _Н = 0,5 , поскольку erf (∞) = 1. Этот случай сравним с идеальным прибором, когда аппаратная функция представляет собой d-функцию Дирака, т.е. объектив является дифракционно-ограниченным, а фотоприемник имеет бесконечно-узкую апертурную характеристику.

Реально параметр y принимает конечные размеры. Значения сигнала на границе вычисляли по формуле (7). Результаты вычислений представлены в табл.1.

Таблица 1

y	g(1)Н	Погрешность отклонения, %	y	g(1)Н	Погрешность отклонения, %
12 10 8 6 4 3,5	0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5001 0,5002	0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,05	3 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0	0,5014 0,5026 0,5047 0,5083 0,5143 0,5238	0,27 0,51 0,94 1,67 2,86 4,76

Из табл.1 следует, что при изменении соотношения y уровень сигнала g(1)_Н = 0,5 остается неизменным при условии y ³ 3,5.

Полученное отношение равносильно отношению сигнал-шум в электронике, если считать идеальный размер изображения а сигналом измерительной информации, а ширину гауссоиды 2s – характеристикой шума.

Таким образом, критерием геометрического подобия и числовой его величиной может служить отношение (5), записанное в виде

а

y = ¾¾ ³ 3,5 . (8)

2s

2. Теория передачи сигнала измерительной информации в ОЭП и расчет основных характеристик его элементов

Литературный обзор, проведенный по методам и средствам обработки сигнала измерительной информации показывает, что полезный сигнал искажают помехи и шумы различной природы. Во-первых, на изображение объекта воздействует аппаратная функция как фильтр низких частот. Во-вторых, на этот отфильтрованный сигнал накладываются различные помехи. При использовании когерентного источника света образуется помеха в виде многолучевой интерференции. К разряду мультипликативных помех относится неоднородность чувствительности фоточувствительных элементов фотоприемника. К указанным искажениям добавляются темновой сигнал и случайный шум. Общую математическую модель сигнала на выходе ОЭП можно представить как

g (x) ={¦(x) * h(x)} ¦(x)_м + ¦(x)_тс + n(x), (9)

где ¦(x) – функция объекта измерения; h(x) – аппаратная функция; ¦(x)_м – мультипликативная помеха; ¦(x)_тс – сигнал темнового тока; n(x) –шум.

Применяя в измерительном ОЭП операцию вычитания темнового тока, а также методы и средства компенсации мультипликативных искажений, на выходе ОЭП получим сигнал g (x), состоящий из аддитивной смеси

g (x) =¦(x) * h(x) + n(x). (10)

Шум n(x) вносит в процесс измерения случайную составляющую погрешности. Эффективным средством подавления шумовой компоненты является низкочастотный фильтр, выполненный по методу синтезированной апертуры. Синтезированная апертура суммирует сигналы от нескольких фоточувствительных элементов и усредняет суммарный сигнал. Тогда процесс преобразования сигнала измерительной информации в ОЭП можно записать в следующем виде:

g (x) ={¦(x) * h(x) + n(x)} * ¦(x)_фнч, (11)

где ¦(x)_фнч – функция пространственного фильтра низкой частоты.

В настоящем разделе приведена технология расчета ОЭП, предназначенного для измерения объектов в виде прямоугольного импульса. Одномерные функции позволяют в достаточной степени просто изложить теоретический материал, не нарушая общих выводов этой технологии. Необходимые теоретические данные с использованием двумерных функций приведены в приложении 3.

На рис.2 изображен процесс преобразования сигнала измерительной информации с помощью сверток соответствующих функций. Функция прямоугольного импульса ¦(x), представляющая объект измерения с размером а, сворачивается с аппаратной функцией прибора h(x) = exp{-x²/2s²}, имеющую ширину 2s. На этот совокупный сигнал ¦(x) * h(x) накладывается высокочастотный шум n(x). С целью уменьшения влияния шума на случайную составляющую погрешности измерения сигнал {¦(x)*h(x) + n(x)} пропускают через фильтр низкой частоты с функцией пропускания ¦(x)_фнч. В результате на выходе ОЭП образуется электронный профиль изображения g(x). Погрешность измерения размера объекта полностью определяется формированием этого профиля.

Основными характеристиками элементов прибора являются пространственные размеры соответствующих функций, которые воедино связаны формулой геометрического подобия (8). При выполнении этого условия размер идеального геометрического изображения а совпадает с размером волнового изображения а_D по уровню 0,5.

Поскольку измерительный процесс, представленный математическим выражением (11), состоит из естественной низкочастотной фильтрации, выполняемой объективом и фотоприемником, и искусственной, выполняемой низкочастотным фильтром, то критерий (8) должен включать и характеристику этого фильтра. Поэтому значение геометрического подобия y необходимо вычислять как

а

y = ¾¾ ³ 3,5. (12)

2s_å

Полуширина искажающей функции s_å равна в этом случае следующей сумме

s_å = s² + s²_фнч = s²_об + s²_фп +s²_фнч , (13)

где s – полуширина аппаратной функции ОЭП; s_об - полуширины ФРТ объектива; s_фп - полуширина апертурной характеристики фотоприемника; s_фнч – полуширина функции пространственного фильтра.

Каждая из названных характеристик определяет полуширину функции Гаусса соответствующего элемента измерительного ОЭП. Вывод равенства (13) приведен в приложении 1.

Полуширина апертурной характеристики s_фп зависит от типа фотоприемника (см.табл.3.1). Эксперименты показывают, что размер 2s_фп на 20% - 40% превышает размер фоточувствительного элемента. Поэтому размер s_фп можно оценить по формуле

s_фп = 1,4 b / 2 = 0,7b, (14)

где b – размер фоточувствительного элемента.

Размер синтезированной апертуры 2s_фнч как фильтра низкой частоты определяют некоторой суммой фоточувствительных элементов фотоприемника

2s_фнч = n b , (15)

где n – количество фоточувствительных элементов. По своей структуре фильтр ближе подходит к функции прямоугольного импульса, хотя в расчетах используется функция Гаусса. В приложении 2 доказано, что погрешности измерения размера объекта, вычисленные с применением обеих функций практически совпадают.

Исходными данными для вычисления приведенных выше характеристик являются допустимые систематическая и случайная составляющие погрешности.

Далее приводится их расчет.

3. Расчет систематической составляющей погрешности измерения размера щели.

Изменение размера изображения зависит от устанавливаемого уровня порога, размера объекта измерения и отношения y. Зададим уровень порога в формуле (6) некоторым значением нормированного напряжения U_o = U/U _max и перепишем формулу в виде

2 U_oerf (y /Ö 2 )=erf[(z +1)y/Ö 2 ] - erf [(z - 1) y/Ö2]. (16)

Реальным техническим условиям соответствует y ³ 5. В этом случае интеграл вероятности в левой части (2.7) можно принять равным единице, поскольку аргумент превышает число 3. Аргумент первого слагаемого в правой части еще больше, поэтому он тоже равен единице. Аргумент второго слагаемого из-за разности (z–1) представляет собой достаточно малую величину, поэтому интеграл вероятности можно разложить по формуле

_{__ ¥ (-1)}ⁿ _(x)²ⁿ⁺¹

erf (x) = (2/Öp) å ¾¾¾¾¾¾

n = 0 ^{n!(2n + 1)}

и воспользоваться первым приближением. Тогда формулу (7) можно переписать в виде

2 U_o = 1 - 2y (z - 1) / Ö2p . (17)

Дальнейшие расчеты удобно выполнить с использованием параметра М, величины обратной отношению y

М = 1 / y = 2s / а. (18)

Из формулы (8) выразим координату z

z = 1 + М Ö2p (0,5 –U_o) .

По правилу вычисления ошибки рассчитаем погрешность измерения координаты Dz

Dz = Ö2p (0,5 –U_o) ×DМ + Ö2p × М×DU_o. (19)

Тогда относительная погрешность dz определения координаты z будет равна

Dz (0,5 –U_o) ×DМ + М×DU_o

dz = ¾¾ × 100% = ¾¾¾¾¾¾¾¾× 100%. (12)

z 0,4 + М (0,5 –U_o)

Для оценки погрешности измерения можно выделить две части из полученной формулы. Первая из них

М×DU_o М×DU_o

dz =¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 100% = ¾¾¾ 100% (20)

0,4 + М (0,5 –U_o) 0,4

выражает относительную погрешность измерения размера объекта по уровню U_o = 0,5 при наличии изменения уровня порога DU_o. Источниками изменения уровня порога могут служить изменения уровня освещения, изменения работы электронной схемы за счет температурной нестабильности и т.д. Из выражения (20) видно, что изменение уровня порога DU_o тем меньше влияет на процесс измерения, чем больше отношение сигнал – шум (18).

Вторая формула

(0,5 –U_o) ×DМ

dz = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 100% (21)

0,4 + М (0,5 –U_o)

показывает изменение относительной погрешности измерения размера объекта от диапазона измерения DМ и уровня порога U_o . Из этой формулы следует, что расчеты измерительного ОЭП необходимо проводить для минимального размера объекта измерения. При совпадении уровня порога U_o с уровнем 0,5 , относительная погрешность измерения равна нулю.

4. Расчет случайной составляющей погрешности измерения размера щели

Оценкой случайной составляющей погрешности измерения размера объекта является среднеквадратическое отклонение результата измерения.

Зависимость величины уровня сигнала U на границе изображения от координаты z определяется формулой (2.10), которую можно записать в виде

U=(1+0,5×MÖ2p)/MÖ2p -(1/MÖ2p) z = C_o + C₁z. (22)

Флуктуации U приводят к неопределенности положения координаты z, поэтому оба значения представляют собой случайные величины. Поскольку случайная величина U распределена по нормальному закону, имеющая среднеквадратическое отклонение s_U, то и случайная величина z распределена по нормальному закону с среднеквадратическим отклонением s_Z

s_U = С₁s_Z,

откуда значение s_Z равно

__

Ö2p 2,5

s_Z = ¾¾ s_U = ¾¾ s_U . (23)

y y

Из полученной формулы видны пути уменьшения случайной составляющей погрешности измерения.

Во-первых, за счет увеличения отношения y. Это означает, что объектив должен иметь возможно большее линейное увеличение; конструкция прибора предусматривала бы минимально возможные продольные смещения объекта измерения; многоэлементный фотоприемник обладал бы минимальным размером апертурной характеристики.

Во-вторых, уменьшение высокочастотной шумовой компоненты s_U. Уменьшение s_U зависит от метода обработки сигнала измерительной информации. В следующем разделе рассмотрен метод низкочастотной фильтрации.

Следует обратить внимание на тот факт, что величины U и z в формуле (22) представляют собой нормированные значения. Максимальная амплитуда U_max=1 и граница координаты z =1. Поэтому и значения s_U и s_Z являются относительными величинами.

Для иллюстрации количественной стороны вопроса определим абсолютное значение среднеквадратического отклонения координаты s_X.

Среднеквадратическое значение шумового напряжения s_U может составлять 0,7 – 6,0 е. м. р. (единиц младшего разряда ) АЦП. Для 8-разрядного АЦП количество уровней равно 256. Следовательно, относительное значение s_U равно 6/256 = 0,023. Пусть y = 5. Тогда величина s_Z, вычисленная по формуле (23), составляет s_Z =0,012. Допустим, что размер изображения равен а = 4 мм. Следовательно, нормированной границе z = 1 соответствует абсолютное значение x = 2 мм. Тогда среднеквадратическое значение s_X = 2s_Z = 24 мкм. Из этого примера следует вывод.

Подобный измерительный ОЭП для данного размера обладает очень высокой случайной составляющей погрешности измерения. Как видно из расчета, она практически равна шагу между фоточувствительными элементами фотоприемника.

5. Фильтрация высокочастотного шума

Высокочастотная компонента, или флуктуационная помеха – это непрерывный во времени (пространстве) случайный стационарный процесс с нормальным распределением мгновенных значений. Энергетический спектр такой помехи в пределах анализируемой полосы частот полагают равномерным. Ширина полосы пространственных частот Dn шума для многоэлементного фотоприемника определена расстоянием p между соседними элементами

Dn = 1/ р. (24)

Шум с выхода многоэлементного фотоприемника представляет стационарный случайный процесс x(z) с нулевым математическим ожиданием и постоянной спектральной плотностью

s_U²

¾¾ n Î çDn/ 2ç

S_x(n) = Dn (25)

0 n ÏçDn/ 2ç

Корреляционную функцию R_x(Dx) находим по формуле Винера–Хинчина

+¥ sin (pDnDx)

R_x(Dx) = ò S_x(n) exp(i2pnDx) dx=s_U² ¾¾¾¾ (26)

-¥ pDnDx

При Dx=0 имеем R_x(Dx) = s_U² , т.е. корреляционная функция равна дисперсии шума. Шум, определяемый характеристиками S_x(n) и R_x(Dx), является входной величиной относительно фильтра низкой частоты. Его импульсная характеристика h(z) может быть представлена функцией

h(z) = 1/ b z Î çb/ 2ç (27)

0 z Ï çb/ 2ç.

y = 1,1 y = 3,5 y = 12,5

Фильтр представляет собой «синтезированную апертуру», которая суммирует сигналы с нескольких фоточувствительных элементов. Общий размер окна такого фильтра составляет пространственный размер b.

Частотная характеристика фильтра H(n) определяется преобразованием Фурье от импульсной характеристики

+ ¥

H(n) == ò h(z) exp(-i2pnz)dz = sin (pnb)/pnb (28)

- ¥

Дисперсию шума s²_вых на выходе фильтра вычисляют по формуле

Рис. 1. Изменение крутизны пограничной кривой в изображении щели в зависимости от соотношения

параметра y = а/2s

+¥

s²_вых == ò S_x(n) çH(n) ç² dn. (29)

-¥

При вычислении этого интеграла используем известную формулу

+ ¥

ò (sin²Y / Y² ) dY = sin (2Y) - sin² Y / Y, (30)

- ¥

где sin (2Y) – функция интегрального синуса.

В итоге получим значение дисперсии шума на выходе фильтра

2 sin² (pbDn/ 2)

s²_вых=s_U² ¾¾ sin (pbDn) - ¾¾¾¾¾ . (31)

Dnpb (pbDn/ 2)²

Полученную формулу можно существенно упростить. Функция вида sin ² Y / Y² в (31) обращается в нуль при значении ее аргумента

pbDn/ 2 = np ,

где n = 1,2, … При этом аргумент интегрального синуса si (pbDn) оказывается в два раза больше. При n ³ 2 интегральный синус стремится к p / 2. Тогда формула (31) приобретает вид

s²_вых = s_U² / bDn . (32)

Согласно (24) знаменатель в (32) равен

bDn = b / p = n , (33)

где n –количество фоточувствительных элементов, составляющих пространственный фильтр. Подставляя (33) в (32), получим широко известную формулу стандартного отклонения среднего (другие названия –стандартная ошибка или стандартная ошибка среднего) :

s_вых = s_U / Ö n . (34)

Таким образом, среднеквадратическое отклонение шума на выходе пространственного фильтра, состоящего из n фоточувствительных элементов фотоприемника, в корень из n раз меньше.