В настоящее время все более широкое применение находят конструкции из композиционных материалов волокнистого строения, например, стеклопластиков, органопластиков, углепластиков, гибридных композиционных материалов и т.д. Для обеспечения эффективности таких конструкций необходимо выбирать структуры армирования и геометрические параметры так, чтобы выполнялись некоторые критерии определяемые условиями эксплуатации. Одним из таких критериев является значение предельно допустимых нагрузок для рассматриваемой конструкции.

Одной из основных задач механики деформируемого твердого тела является задача определения предельно допустимой нагрузки для конструкций. Решению таких задач посвящено множество работ, где для описания поведения среды в предельном состоянии используются различные модели [1]. Одной из широко используемых моделей, описывающих поведение материала в предельном состоянии, является модель жесткопластических сред [2]. Эта модель описывает поведение материала конструкций при реализации в нем предельного состояния, а для определения предельных нагрузок сформулированы кинематическая и статическая теоремы [3]. В общем случае для определения несущей способности при помощи кинематической и статической теорем необходимо знать механизм пластического течения и область материала конструкции, в которой реализуется пластическое течение [1]. Задача определения этих областей, в общем случае, не сформулирована [1].

Исследованию предельного состояния оболочек вращения, выполненных из жесткопластического материала, посвящен ряд работ [4,6]. Тороидальные оболочки рассматривались только в работе [6], где приближенные решения для оболочек, выполненных из изотропного материала, были получены кинематическим методом. При этом предполагалось, что при x = ± p / 2 (рисунок 1) имеет место шарнирное опирание, т.е. рассматривался только сектор тора с шарнирно опертыми краями, и во всем пролете реализуется пластическое течение.

Если напряженное состояние соответствует ребру предельной поверхности, образованному пересечением двух или более гиперплоскостей (1), вектор скорости деформаций может принимать произвольное направление между нормалями к смежным гиперплоскостям и представляется как линейная комбинация этих нормалей с неизвестными множителями l _k [7]. В данной работе будем полагать, что вектор скоростей деформаций в любом сечении ортогонален одной из гиперплоскостей.

С целью исключения из разрешающих уравнений неизвестного множителя l _k введем величину q [7]:

В дальнейшем ограничимся оболочками постоянной толщины 2H(s)=const, срединная поверхность которых образована вращением эллипса вокруг оси Х (рис.1). Армирующие волокна уложены вдоль траекторий, составляющих угол ± Y (s) с меридианом {± Y (s_o+ds)=± Y (s_o-ds), [ds=0¸ (s₁-s_o)]}. Рассматриваемые тороидальные оболочки нагружены внутренним давлением Р(s)=const и массовой силой, вызванной вращением вокруг оси Х с угловой скоростью w _о.

В силу симметрии строения и нагружения относительно плоскости Х=0 далее будем рассматривать только часть оболочки при sÎ [ s_o, s_1] . Уравнения равновесия для осесимметричных тороидальных оболочек можно привести к виду [8]:

R, R_о - расстояние от оси Х до срединной поверхности оболочки и центра эллипса, образующего тороидальную оболочку, соответственно; x - угол между осью Х и касательной к меридиану; s _о- константа, имеющая размерность напряжения; r ^*-плотность материала оболочки, отнесенная к плотности связующего r _с; l _о- предельный параметр нагружения (коэффициент запаса прочности); w _о - скорость вращения оболочки; P - значение действующего внутреннего давления.

Реализация гиперплоскостей (4) с номерами k=1,2 в некоторой части оболочки согласно кинематическим соотношениям [8] и закону течения (2) соответствует перемещению этой части как жесткого целого. Выполнение соотношения (4) (k=1,2) в некотором сечении s=s₊ пластической области сопровождается реализацией пластического шарнира [9].

При реализации в части пролета оболочки гиперплоскости с номером n=3,...,L, из кинематических соотношений [2,8] и соотношений (2),(3) получим:

Уравнения (4)-(6) образуют систему трех нелинейных дифференциальных уравнений с неизвестным параметром l _о, описывающих распределение величин T_s,m₁,q в области реализации пластического режима с номером n=3,...,L.

1. При сопряжении в сечении s=s₊ двух пластических режимов, отвечающих гиперплоскостям с номерами m и l (m¹ l;m,l=3,...,L), без пластического шарнира в соответствии с (4)-(6) получим следующие условия сопряжения:

(j=1,2) путем исключения величины и определяет значение координаты .

2. При реализации пластического шарнира в некотором сечении s=s₊ области, находящейся в состоянии течения, согласно (2), (5) имеют место следующие условия сопряжения:

В первом случае для формулировки задачи предельного равновесия необходимо задать четыре условия при s=s_o, s=s₁ в величинах . Три условия необходимы для определения величин и одно для вычисления параметра нагружения l _о .

Знак в значении для величины q определяется в соответствии с характером деформирования оболочки.

Кроме этого, возможны ситуации, когда при s=s_o или (и) s=s₁ реализуется пластический шарнир. В этих случаях согласно (8),(9) краевые условия записываются следующим образом:

В случае, когда пластическое течение реализуется в части оболочки для определения несущей способности достаточно построить решение только в пластической области [10]. Отметим, что в общем случае можно построить несколько таких решений, например, пластическое состояние реализуется при sÎ [s_o-s₊,s_o+s₊] и при sÎ [s₁-s_х,s₁+s_х] (рис.1). Значения предельных параметров нагружения полученные при решении этих задач будут различаться. Поскольку в соответствии с моделью жесткопластического тела история нагружения не влияет на значение предельной нагрузки [2,10], то истинным механизмом течения является тот, который реализуется при меньшей предельной нагрузке. Таким образом, для решения задачи при реализации пластического состояния в части оболочки необходимо задать шесть краевых условий в величинах , три для определения интегрирования уравнений (4)-(6), одно для предельного параметра нагружения l _о и еще два условия определяющих границы пластической области.

Если пластическое состояние реализуется в части оболочки при sÎ (s₀,s₊);s_o<s₊<s₁ или sÎ (s₊,s₁);s_o<s₊<s₁, то краевые условия согласно (2),(10) записываются в виде [9]:

Если же пластическое состояние реализуется при sÎ (s_х,s₊); s_o<s₊,s_x<s₁, то на краях пластической области при s=s₊ и s=s_х выполняются последние три условия (11):

Система уравнений (4)-(6) с условиями сопряжения (7)-(8) и краевыми условиями типа (9) или (10) ((11),(12)) представляет собой многоточечную краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с параметром l _о. Особенность этих задач заключается в том, что заранее не известны гиперплоскости, которые реализуются в пролете оболочки, их число, последовательность и области определения. Если решение этой многоточечной краевой задачи проводить методами [11-12], то выбор последовательности реализующихся режимов можно проводить путем перебора при условии, что вектор обобщенных напряжений не должен выходить за пределы поверхности текучести (1). Отметим, что при решении нелинейных краевых задач [11-12] необходимо задавать начальное приближение. Такое приближение нужно задавать для каждой комбинации режимов, что в связи с большим числом параметров сделать достаточно сложно. В принципе можно решить эту проблему, если в качестве начального приближения использовать решения упругой задачи или решения, полученные на основе некоторых упрощений. В принципе такая процедура реализуема, но она является достаточно сложной по логике и технике построения.

Еще одной проблемой при решении этой задачи является то, что перед решением задачи необходимо определить механизм пластического течения, т.е. реализуется пластическое течение во всем пролете оболочки или только в некоторой ее части, возможны или нет пластические шарниры в пределах пластической области. Т.е. требуется определить какую из задач (4)-(8),(9); (4)-(8),(10); (4)-(8),(11); (4)-(8),(12) требуется решить при заданном характере нагружения, структуре армирования и геометрических характеристиках оболочки. Эта проблема разрешима, если решение строить методом продолжения по параметру [13], где в качестве начального принять решение, например, полученное при таких геометрических размерах или структурах армирования, что во всем пролете оболочки реализуется строго безмоментное напряженное состояние, а поле напряжений соответствует поверхности текучести [14]. Отметим, что при решении задачи таким способом при каждом фиксированном значении параметра можно организовать процесс переопределения последователь-ности пластических режимов, где в качестве начального приближения является решение, полученное на предыдущем шаге.

В качестве примера рассматривались оболочки со следующими геометрическими параметрами (рис.1): H/R_o=0,001; r_o=b × R_o; r_#=a × R_o, где a -определяется при фиксированном значении параметра b из условия постоянства внутреннего объема (в качестве эталона использовалась оболочка при a =b =0,1). Оболочки изготовлены из многослойного армированного материала, в каждом из слоев которого армирующие элементы уложены вдоль траекторий, составляющих угол ± y ( s) = const с меридианом; интенсивности армирования определяются из условия постоянства сечения волокон и суммарного армирующего материала, где для эталона было полагалось w _арм(s₁)=0,6; s _a± /s _o=P/s _o=100, где s _a± ,s _o- пределы текучести армирующих элементов при растяжении-сжатии и материала изотропного связующего, подчиняющегося условию пластичности Треска.

На рисунке 2 приведены зависимости параметра нагружения l _о от угла укладки армирующих элементов y и при различных значениях геометрического параметра b для оболочек, нагруженных только внутренним давлением (w _о =0). При b =0,1 схематично показаны механизмы течения оболочки, где сплошной линией приведено сечение тора, а штриховой - механизм движения. При y £ p / 6; y ³ 2 p / 9 пластическое состояние реализуется во всем пролете оболочки, а во всех остальных случаях решения получены при наличии жестких областей, где пластический шарнир реализуется в сечении , если y £ p / 72; в сечении , если p /3³ y ³ p / 72 и в s_o£ s_+£ ,s₁ при y ³ p / 3. Отметим, что наибольшее значение параметр нагружения достигает при реализации механизма типа "разрыв" при s=s_о, т.е. при s=s_о реализуется строго безмоментное напряженное состояние, а вся остальная часть оболочки находится в жестком состоянии.

При других значениях параметра b (b =0,07; b =0,13) (рисунок 2) максимальное значение параметра нагружения достигается при реализации в сечении s=s_о также строго безмоментного напряженного состояния. При b =0,1, y » p / 6 0 во всей оболочке реализуется пластическое состояние и вектор обобщенных напряжений всюду соответствует ребрам поверхности текучести, образованным пересечением гиперповерхностей с номерами k=1Ú 2 и n=3,...,L (1), а вектор скоростей деформаций ортогонален поверхности с номером n. Следует отметить, что в работе [15] было сделано предположение, что в оболочках минимального веса реализуется напряженное состояние, соответствующее таким ребрам. В соответствии с полученными решениями (рисунок 2) это предположение [15] не соответствует действительности.

На рисунке 3 приведены зависимости параметра нагружения l _о от геометрического параметра b при различных структурах армирования (w _о=0). В этом случае наибольшая несущая способность достигается при реализации строго безмоментного напряженного состояния в сечениях s=s_о или s=s₁, а также при реализации в конструкции нескольких пластических шарниров.

На рисунке 4 приведены зависимости параметра нагружения тора (b =0 ,1; y = p /3) от скорости вращения (параметра ) вокруг оси Х, нагруженного внутренним давлением P, при различных значениях плотности армирующих элементов, m = r _{а/ r с} (r _а-плотность материала армирующих элементов). Из рис.4 следует, что при увеличении скорости вращения (увеличении массовых сил) несущая способность для различных структур армирования может как увеличиваться, так и уменьшаться. Увеличение несущей способности при увеличении массовых сил при Î [ 0 ; 2 ] ; объясняется тем, что течение оболочки под действием внутреннего давления происходит в направлении, противоположном действию массовых сил (см. рис.2), тогда как при >2 направления течения и действие массовых сил совпадают.

Следует отметить, что ни в одном из рассмотренных случаев не получено решения, при котором q(R_o)=m₁(R_o)=0, что соответствует условиям, принятым в работе [3].

1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. -М.: Наука, 1974. - 312 с.
2. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. - М.: Наука, 1981. - 208 с.
3. Койтер В.Т. Общие теоремы упруго-пластических сред. - М.: Из-во иностр. лит., 1961. - 80 с.
4. Савчук А. О пластическом анализе оболочек /Сб. Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. М.: Наука, 1983. - C.274-304.
5. Ходж Ф.Г. Пластический анализ и надежность сосудов давления /Сб.перев. Механика.-М.:Изд-во Иностр.лит. - 1972. - №2. - C.115-125.
6. Листрова Ю.П., Рудис М.А. Предельное равновесие тороидальной оболочки./Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение.-1963. - №3. - C.119-123.
7. Немировский Ю.В. Предельное равновесие многослойных армированных осесимметрических оболочек /Известия АН СССР. Механика деформируемого твердого тела. - 1969. - №6. -C.80-89.
8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1974. - 448 с.
9. Онат Е.Т. Предельное равновесие пологих конических оболочек / Сб. перев. Механика. М.: Изд-во Иностр.лит. - 1961. - №4. - C.105-115.
10. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 774 с.
11. Lentini M., Pereyra V. A variable order finite difference method for nonlinear multipoint boundary value problems /Math.Comput. - 1974, vol.28,№ 128.-P.981-1003.
12. Ascher U.,Christiansen J.,Russell R.D. Collocation software for boundary - value ODES./ACM Trans.on Math.Software. -1981, vol.7,№ 2.-P.209-222.
13. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1979. - 312 с.
14. Образцов И.Ф.,Васильев В.В.,Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. -М.: Машиностроение,1977. - 144 с.
15. Onat E.T., Prager W. Limit of economy of materials in shells /De Ingenier. - 1955. - vol.67, n.10. - P.46-49.
16. Немировский Ю.В., Налимов А.В., Налимова Г.М. Несущая способность армированных цилиндрических оболочек. Препринт 28-87.-Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1987. - 46 с.