Достоверное знание коэффициента теплопроводности материалов необходимо для инженерных расчетов при создании новых машин, расчете их коэффициента полезного действия и др.

Соотношение Видемана-Франца, устанавливающее связь между электропроводностью и теплопроводностью, позволяет перенести закономерности, найденные для электропроводности, на явление теплопроводности и, таким образом, рассчитать теплопроводность по замерам электропроводности. Практическое значение этой возможности очевидно, так как измерение теплопроводности гораздо сложнее и менее надежно, чем измерение электропроводности, что объясняется трудностями при изоляции исследуемого материала.

В общем случае перенос тепла осуществляется двумя типами носителей: электронами проводимости и собственно фононами.

Можно предположить, что перенос тепловой энергии электронами происходит в результате взаимодействия электронов проводимости с осцилляторами, колеблющимися с характеристической частотой n ₀. Причем, электронам от осцилляторов передается не вся энергия hn ₀ фонона, а только часть этой энергии, приходящаяся на одну степень

свободы (i), то есть .

Электронная теплопроводность прямопропорциональна электропроводности вещества g и числу фононов N с энергией E₀:

(1)

где L_c- постоянная, L_c=2,6· 10^-8 Вт· Ом· град^-1.

Параметр A зависит от внутренней энергии решетки и определяется следующими физическими величинами:

(2)

где c_p- теплоемкость одного киломоль вещества при постоянном давлении при заданной температуре, s - электроотрицательность, D – плотность вещества, d- постоянная d=2,7· 10⁹ кг· м^-2· с^-3· К^-2. При температуре выше комнатной A=0.

В согласии с законом Планка-Энштейна число фононов с энергией hn ₀ в одном киломоль при температуре T может быть представлено:

(3)

где N₀- число Авогадро, h- постоянная Планка, K- постоянная Больцмана.

С учетом выражения (3) электронная теплопроводность запишется:

, (4)

где .

При температурах выше комнатной для большинства металлов можно сделать следующее допущение

,

Формула для электронной теплопроводности принимает вид:

(5)

Формула (5) совпадает с законом Видемана-Франца.

Таким образом, пользоваться законом Видемана-Франца при расчете теплопроводности металлов можно только при температуре выше температуры Дебая, в то же время, предложенная в данной работе формула (4) позволяет определять теплопроводность металлов по электропроводности или электросопротивлению при любой температуре, включая температуры близкие к нулю.

После замены электропроводности на электросопротивление в формуле (4) электронная теплопроводность запишется:

. (6)

В таблице 1 приведены значения теплопроводности для элементов Cu, Fe, Pb, полученные из опыта и рассчитанные по формуле (6).

Ошибка в определении значения теплопроводности по формуле (6) составляет менее 3% от результатов, полученных опытным путем для данной температуры.

Для большинства твердых растворов при повышении концентрации растворенного элемента теплопроводность падает менее интенсивно, чем электропроводность. При этом отношение для некоторых систем, содержащих переходные металлы, может повышаться при комнатных температурах более, чем в два раза, как правило, такое резкое повышение присуще системам с неоднородным твердым раствором со структурой подобной “K” состоянию [4].

При приближении температуры сплава к температуре плавления отношение приближается к значению для чистых элементов.

, (7)

при данной температуре, d- постоянная для сплавов, приведенных в таблице 2, d=4,4· 10^-7 Ом· м.

В таблице 2 приведены значения теплопроводности, полученные из опыта и рассчитанные по формуле (6) с учетом (7) .

В отсутствии электронной теплопроводности передача тепловой энергии от одних точек тела к другим осуществляется только фононами [3].

Теория переноса тепла фононами находится в такой стадии, когда по ней еще нельзя установить количественную зависимость решеточной (фононной) теплопроводности от температуры. Поэтому для практических целей необходимо найти зависимость теплопроводности от температуры в виде эмпирических формул.

В передаче энергии, по нашему мнению, участвуют только фононы с энергией . Перенос энергии фононами происходит путем их переброса от осцилляторов с энергией hn ₀ к осцилляторам с меньшей энергией. В процессе переброса фононы с энергией могут дробиться на фононы с меньшей энергией. Я...И. Френкель [5] сделал предположение, что теплопроводность неметаллических кристаллов должна быть обратнопропорциональна коэффициенту теплового расширения. Работами [6,7] подтверждено существование связи между теплопроводностью и коэффициентом теплового расширения.

Таблица 1

Теплопроводность, Вт/м*К

Таблица 2

Электросопротивление и теплопроводность сталей и сплавов

при комнатной температуре

Как известно, коэффициент теплового расширения обусловлен силами ангармонического взаимодействия между атомами. Однако, силы ангармонического взаимодействия- это только один из факторов, оказывающих влияние на решеточную теплопроводность.

Нами получена формула для расчета решеточной теплопроводности при использовании некоторых упрощений.

Концентрация фононов n с энергией зависит только от температуры и описывается функцией распределения фононов от температуры:

. (8)

Плотность потока энергии, как известно из физики, можно представить в виде произведения объемной плотности энергии w на скорость переноса фононов:

. (9)

Скорость переноса (переброса) фононов прямопропорциональна термодинами-

ческой силе и обратнопропорциональна сопротивлению переноса r_ф:

(10)

Сопротивление переносу (перебросу) фононов прямопропорционально плотности вещества D; смещению атомов из положения равновесия x, вызванному тепловыми колебаниями; силе давления ангармонического взаимодействия () и координационному числу (числу межатомного взаимодействия) Z:

. (11)

Смещение x² определяется из энергии гармонического осциллятора

, (12)

Следовательно

. (13)

В работе [8] нами получена следующая зависимость для давления силы ангармонического взаимодействия:

, (14)

где c_p- теплоемкость одного киломоль вещества при постоянном давлении, R- универсальная газовая постоянная, V- объем одного киломоль вещества, - электроотрицательность.

Подставляя значения x² и G_a из (13) и (14) в формулу (11) и учитывая, что , получим следующую зависимость для r_ф:

. (15)

С учетом выражения (10) и (15) формула (9) для потока энергии в направлении оси x запишется:

,(16)

где K- число атомов в молекуле.

Уравнение потока тепловой энергии также можно представить в следующем виде:

. (17)

Из сравнения уравнений (16) и (17) получаем следующее выражение для коэффициента теплопроводности:

, (18)

где d=3• 10² Вт• К^-2• м^-4.

В таблице 1 приведены значения теплопроводности для некоторых диэлектриков (Si, B). Имеется хорошее совпадение в значениях теплопроводности, полученных экспериментальным путем и рассчитанных по формуле (18).

На рис. 1, 2, 3(а, б) приведены кривые изменения теплопроводности от температуры, полученные опытным путем и рассчитанные по формуле (18) .

Результирующая теплопроводность определится как сумма:

. (19)

Уравнения (4) и (18) позволяют объяснить причину, почему электронная и решеточная теплопроводность проходят через максимумы при низких температурах, причем, чем выше температура Дебая, тем выше температура максимума теплопроводности.

Такой характер температурной зависимости теплопроводности при низких температурах вызван наложением двух процессов: с одной стороны, резким снижением ангармонической составляющей сопротивления перемещению электронов и фононов, с другой,- уменьшением по экспоненте числа фононов способных принимать участие в процессах переброса энергии от одних точек к другим.

Сравнение экспериментальных данных по теплопроводности с данными, полученными путем расчета, позволяет считать, что полученные эмпирические формулы могут быть использованы на практике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новицкий Л.А., Кожевников И.Г. Теплофизические свойства материалов при низких температурах. Справочник. М.: ”Машиностроение”, 1975. 216с.

2. Теплопроводность твердых тел: Справочник/ Под ред. А.С.Охотина. М.: Энергоиздат, 1984. 320с.

3. Охотин А.С. К вопросу о решеточной теплопроводности.- В кн.: Получение и поведение материалов в космосе. М.: Наука, 1977. С. 147-157.

4. Лившиц Б.Г., Крапошин В.С., Линецкий Я.Л. Физические свойства металлов и сплавов. М.: “Металлургия”. 1980. 320с.

5. Я.И.Френкель. Введение в теорию металлов. М.-Л., ГИТТЛ. 1950.

6. В.П.Жузе. Докл. АН СССР, 1954, 99, 711.

7. Конторова Т.А. ЖТФ 1956, 26, вып.9, 20 21.

8. Н.А.Сачавская, В.В.Евстигнеев, А.Ф.Сачавский, А.А.Сачавский. Единое уравнение для коэф- фициента вязкости. Труды АлтГТУим. И.И.Пол-зунова, Барнаул, 1998, в.8, С. 197-206.

9. А.Ф. Сачавский, В.В.Евстигнеев, Н.А.Сачавская. Единое уравнение состояния вещества. Труды АлтГТУ им. И.И. Ползунова, Барнаул, 1998, в.8, С. 214-222.

10. В.Е.Зиновьев и др. Температуропроводность и электропроводность чугунов при высоких температурах. Ж-л “Металлы” N2, 1996, С. 17.

11. Физико-химические свойства элементов. Справочник. Под ред. Г.В.Самсонова. Киев, “Наукова Думка”, 1965. 808с.

12. Ершов Г.С., Черняков В.А. Строение и свойства жидких и твердых металлов. М., 1978.

13. Александров А.А.. Трахтенгерц М.С. Теплофизические свойства воды при атмосферном давлении. М.: Изд-во стандартов, 1977.