Информационной основой компьютерных технологий проектирования линейчатых поверхностей технических изделий являются конструкторские специализированные базы данных. Состав и структура каждой базы ориентированы на хранение поверхностей конкретных изделий. Обычно подразумевается, что конструкторские базы данных предназначены для компьютерного моделирования, автоматизированного проектирования с целью осуществления поискового конструирования поверхностей изделий с улучшенными технологическими и эксплуатационными характеристиками. Но в условиях внедрения компьютерных технологий проектирования возникает также проблема применения компьютеров для хранения конструкторской документации поверхностей существующих изделий. В конструкторских бюро заводов, научно-исследовательских лабораториях, занимающихся проектированием и совершенствованием поверхностей технических изделий, существуют архивы конструкторской документации таких поверхностей.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве и проективном пространстве , получающемся из присоединением бесконечно удаленной плоскости p как множества несобственных элементов в виде бесконечно удаленных точек и бесконечно удаленных прямых, задана декартова прямоугольная система координат OXYZ. Объекты пространств и в виде точек, прямых и плоскостей связаны между собой отношениями, вытекающими из абсолютной геометрии. Поскольку геометрические элементы рассматриваемых конгруэнций ассоциированы с линейчатыми поверхностями технических изделий конкретного назначения, задающих требуемый технологический процесс, будем рассматривать ту часть лучей конгруэнций и образующих линейчатых поверхностей, которая ограничена координатными плоскостями YOZ, XOZ и XOY. Обозначим эту часть пространства как W . Каждая пара точек пространства W задает прямую, совокупность всех прямых определяет четырехпараметрическое множество прямых пространства W . Последовательное введение двух связок параметров в это множество выделяет из него двухпараметрическое подмножество прямых, составляющих конгруэнцию , а введение в конгруэнцию третьей связки выделяет из нее однопараметрическое подмножество прямых, образующих линейчатую поверхность . Способы задания связок конгруэнций и их расположение в пространстве W должны обеспечивать выделение всех видов линейчатых поверхностей , используемых в проектировании конкретного технического изделия. Этим обеспечивается замена при компьютерном моделировании таких поверхностей многочисленных методов проектирования частных видов линейчатых поверхностей единым подходом к созданию их моделей. Так как моделирование рассматриваемых линейчатых поверхностей ориентировано на реализацию всех построений в виде алгоритмов средствами машинной графики, то принято параметрическое описание прямых , являющихся лучами конгруэнции и образующими линейчатой поверхности, а также аналитическое задание связок. Это является отличительной особенностью предлагаемого моделирования от существующих описаний конгруэнций прямых. Такой подход упрощает численную реализацию построения моделей линейчатых поверхностей.

, (1)

которое определяет плоскую дугу простой кривой Жордана, инцидентную координатной плоскости XOZ. Будем рассматривать соотношение (1) как уравнение первой связки конгруэнции и обозначим ее w ₁.

Многообразие конгруэнций получается за счет выбора вида второй связки, определяющей двухпараметрическое множество прямых пространства W . В качестве второй связки, определяющей конгруэнцию как основы конструктивно-прикладного моделирования линейчатых технических поверхностей , будем рассматривать либо простую дугу плоской кривой Жордана w ₂, лежащую в горизонтально проецирующей плоскости пространства W , либо множество несобственных (бесконечно удаленных) точек прямой b проективного пространства , или как конгруэнцию бипланар, лучами которой являются линии взаимного пересечения плоскостей, составляющих двухпараметрическое множество плоскостей, касательных к первой связке w ₁.

Описание первой связки простой дуги плоской кривой Жордана заключается в ее параметрическом задании с учетом экспериментально обоснованных геометрических параметров в системе координат x O Z ў в векторной форме:

. (2)

Параметрическое описание фокальной кривой в виде соотношений (2) позволяет, изменяя значение параметра , некоторой текущей точке “пробежать” всю кривую от точки до точки _. Верно и утверждение о том, что некоторая точка плоскости инцидентна фокальной кривой, если при ее координатах значение параметра таково, что выполняется соотношение 0 Ј Ј 1. При конструировании конкретных технических поверхностей следует учитывать, что описанные таким образом кривые могут быть продолжены и за точку . При этом для текущего параметра верно отношение > 1. Cформулированные выше свойства кривой первой связки позволяют определить, что это кривая второго порядка, непрерывная, не имеющая кратных точек, дважды дифференцируемая и является кривой класса .

Введенные правила, ограничения и определения позволили обосновать вид второй связки параметров и образование конгруэнций , определяющих часть пространства, которому инцидентны образующие линейчатых поверхностей конкретных технических изделий. Такие конгруэнции , заданные в пространстве W , образуются следующими связками параметров:

1. [ w ₁ И w ₂] - простая конгруэнция c простой дугой плоской кривой Жордана w ₂ в качестве второй связки (см. рис. 1);

2. [ w ₁ И [b И ]] - проективная конгруэнция с прямой b как совокупности бесконечно удаленных точек проективного пространства в качестве второй связки, задаваемая направляющей плоскостью (см. рис. 2);

3. [w ₁ И ] - конгруэнция бипланар, как семейство прямых, являющихся линиями взаимного пересечения двухпараметрического множества плоскостей, касательных к первой связке w ₁ (см. рис. 3).

Рис. 1. Образование простой конгруэнции [w ₁И w 2]

Обозначим простую конгруэнцию как [w ₁И w 2] . Если каждому элементу множества точек , инцидентных первой связке w ₁, имеющего размерность (Ґ ¹), поставить в соответствие каждый элемент из множества точек , инцидентных второй связке w ₂, также имеющего размерность (Ґ ¹), то получим двухпараметрическое семейство прямых размерности (Ґ ^{1) ґ ( Ґ 1) = ( Ґ 2}) , образующее конгруэнцию [w ₁И w 2] . Таким образом, конгруэнция [w ₁И w 2] образуется как двухпараметрическое множество прямых, пересекающих попарно точки и , где точка - точка, инцидентная первой кривой w ₁, положение которой определяется параметром таким, что выполняется соотношение , а точка - точка, инцидентная второй кривой w ₂ , положение которой задается параметром таким, что выполняется соотношение . Конгруэнцию прямых [w ₁И w 2] можно представить двояко как однопараметрические семейства конусов [] . Одно семейство конусов образуется как множество пространственных пучков прямых со связкой в точке и направляющей кривой конуса w ₂ . Множество точек первой кривой w ₁ определяет однопараметрическое семейство конусов размерности (Ґ ¹). Второе семейство конусов образуется как однопараметрическое множество размерности (Ґ ¹) пространственных пучков прямых со связкой в точке и направляющей конуса w ₁. Таким образом, имеем совокупность лучей, каждый из которых одновременно принадлежит двум семействам конусов. Такая совокупность называется конгруэнцией бисекант. Порядок и класс такой конгруэнции: две фокальные фигуры в виде плоских кривых второго порядка определяют гиперболическую линейную конгруэнцию Kr(2,4).

При конструировании поверхностей технических изделий не всегда можно обосновать параметры второй фокальной кривой w ₂ и положение плоскости , которой она инцидентна. В связи с этим часто используются на практике линейчатые технические поверхности, которые можно рассматривать как поверхности, выделенные из конгруэнций, у которых в качестве второй связки w ₂ используется бесконечно удаленная прямая b как множество несобственных точек проективного пространства . Получается конгруэнция с одной несобственной фокальной фигурой в виде совокупности бесконечно удаленных точек проективной прямой . Обозначим эту конгруэнцию как [w ₁ И [, b ]] и в дальнейшем будем ее называть конгруэнцией с проективной прямой или проективной конгруэнцией. Разберем, как образуется такая конгруэнция. Через каждую точку , на фокальной кривой w ₁, инцидентной координатной плоскости XOZ, для значения параметра проведем плоскость в направлении, которое определяется плоскостью , являющейся направляющей плоскостью проективной конгруэнции.

Рассмотрим множество прямых, проходящих через точку О w ₁ в плоскости . Эти прямые образуют плоский пучок с центром в точке . К множеству точек каждой прямой пучка, являющейся лучом линейной конгруэнции, добавим одну бесконечно удаленную точку. Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно много беско-

нечно удаленных точек. Совокупность бесконечно удаленных точек лучей конгруэнции, лежащих в одной плоскости , задают бесконечно удаленную прямую b . Две параллельные плоскости и имеют общие бесконечно удаленные точки, поэтому совокупность бесконечно удаленных точек каждой плоскости можно рассматривать как множество, состоящее из точек пересечения двух параллельных плоскостей. Все параллельные плоскости пересекаются в бесконечности по бесконечно удаленной прямой b , которую будем считать второй фокальной фигурой. Конгруэнцию [w ₁ И [, b ] ] можно рассматривать двояко. С одной стороны конгруэнция [w ₁ И [, b ] ] - это множество плоских пучков прямых, являющихся лучами конгруэнции, со связкой в точке О w ₁ и инцидентных соответствующей плоскости , параллельной направляющей плоскости , задающей бесконечно удаленную прямую b проективного пространства . С другой стороны конгруэнцию [w ₁ И [, b ] ] можно рассматривать как множество плоских пучков прямых, исходящих из бесконечно удаленной прямой b , являющейся осью пучка плоскостей . Чтобы представить совокупность прямых, принадлежащих этой конгруэнции, нужно каждой бесконечно удаленной точке проективной прямой b поставить в соответствие определенным образом по одной плоскости пучка плоскостей b () и принять точки за центры пучков лучей конгруэнции, каждый для своей плоскости . Таким образом, в каждой плоскости пучка плоскостей b () лежит (Ґ ¹) лучей, а в пучке b () содержится (Ґ ¹) плоскостей. Следовательно, всего (Ґ ¹)х(Ґ ¹)=(Ґ ²) прямых, то есть рассматриваемая совокупность прямых является конгруэнцией. Конструктивно несобственной фокальной фигурой при построении лучей конгруэнции воспользоваться невозможно. В конструктивно-прикладном моделировании множество лучей конгруэнции с несобственной фокальной фигурой будем рассматривать как совокупность двухпараметрического семейства линий где s_i - параметр, определяющий положение точки на первой фокальной кривой w ₁, а g _j - параметр, выделяющий конкретный луч конгруэнции из плоского пучка прямых, инцидентного плоскости со связкой в точке и означает угол, составленный этим лучом с координатной осью ОХ. Вся совокупность лучей конгруэнции [w ₁ И [, b ]] , ассоциированной с техническими поверхностями, получается изменением параметра О [0,1] h_s и изменением параметра g _j О [0,)_. Множество лучей получается изменением параметров 0Ј s_i Ј 1 и 0б g _j б p /2, а множество точек получается изменением параметра 0Ј t Ј 1 на каждом луче конгруэнции. Определим порядок конгруэнции [w ₁ И [, b ] ]. Произвольная точка А, инцидентная части пространства , выделенного фокальными фигурами w ₁ и b , и кривая w ₁ задают коническую поверхность S со связкой в точке А и направляющей в виде фокальной кривой w ₁. Кроме того, точка А и бесконечно удаленная прямая b , как множество бесконечно удаленных точек, задают плоский пучок прямых со связкой в точке А. Пересекаются коническая поверхность S и плоский пучок прямых максимум по двум лучам конгруэнции, значит порядок конгруэнции равен двум (n=2). Определим класс проективной конгруэнции. Любая плоскость пространства пересекает фокальную кривую w ₁ максимум в двух точках, а несобственную прямую b в одной точке. Точки пересечения дадут два луча конгруэнции. Значит класс конгруэнции равен двум (m=2).

Особый интерес, с точки зрения конструктивно- прикладного моделирования линейчатых поверхностей, представляют конгруэнции бипланар, которые рассматриваются как двухпараметрическое множество прямых, полученных от взаимного пересечения плоскостей, составляющих однопараметрическое множество пучков плоскостей касательных к кривой w ₁ . Положение каждой плоскости конгруэнции определяется однозначно двумя параметрами - параметром , определяющим точку на кривой w ₁ , через которую проходит связка пучка плоскостей конгруэнции, и параметром , который задает угол, составленный следом конкретной плоскости пучка с осью и тем самым выделяет эту плоскость из пучка. Обозначим эту конгруэнцию как [ w ₁ И [ , ] ] . Лучами конгруэнции будут прямые пересечения плоскостей, принадлежащих различным пучкам плоскостей с осью пучка по касательной к кривой w ₁. Таким образом, многообразие конгруэнций можно получить, если выделить двухпараметрическое множество прямых конгруэнции , из прямых пространства W , составляющих плоские пучки со связкой в точках О w ₁, инцидентных плоскостям , касательных к первой фокальной кривой w ₁ в точках .

Каждой касательной , проходящей через точку О w ₁ и составляющую угол с осью OX, поставим в соответствие плоскость пространства W , для которой прямая , составляющая угол с осью OX, является прямой пересечения этой плоскости с координатной плоскостью XOZ , а линия пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY составляет с осью ОХ угол . Через касательную проходит пучок плоскостей , для которых прямая является осью пучка. Обозначим этот пучок как . Положение плоскости в пучке определяется однозначно углом . Для каждой точки О w ₁ , при изменении угла в интервале [) , получим пучок плоскостей с осью по линии как множество плоскостей размерности (Ґ¹). Каждой точке О w ₁ будет соответствовать свой пучок плоскостей с осью . Множеству точек , инцидентных кривой w ₁ , соответствует множество пучков плоскостей касательных к кривой w ₁ в точках размерности (Ґ ¹). В каждой плоскости через точку , как связку, проходит пучок прямых, которые образуют множество размерности (Ґ ¹). Положение каждой прямой пучка однозначно определяется углом , отсчитываемым от направления (или касательной ) по часовой стрелке (или против). Таким образом, получено множество размерности ( Ґ ^{1) ґ ( Ґ 1) ґ ( Ґ 1)} прямых, положение которых в пространстве W однозначно определяется тремя параметрами (или ), и , где параметр выделяет точку из множества точек кривой w ₁, параметр выделяет плоскость из пучка плоскостей со связкой по касательной к кривой w ₁ в точке , а параметр выделяет конкретную прямую из множества прямых пучка прямых, инцидентного плоскости . Множество прямых, определяемых тремя параметрами (или ), и , в соответствии с принятыми определениями образуют комплекс. Точка на прямой комплекса выражается как сумма двух векторов, один из которых определяет точку на первой фокальной кривой w ₁, а второй определяет расстояние точки на прямой комплекса от точки на кривой w ₁ в виде

. (3)

Рассмотрим общий случай выделения конгруэнции из комплекса, определенного параметрами (или ), и , введением зависимости . Первая фокальная кривая w ₁ в векторной форме есть . Касательная к ней имеет направление . Угол наклона касательной к оси ОХ есть . Он связан с параметром соотношением

. (4)

касательной к кривой w ₁

. (5)

,

- орт нормали с компонентами

(6)

(7)

(8)

(9)

. (10)

(11)

В конструктивно-прикладном моделировании линейчатой поверхности технического изделия инцидентна только та часть лучей конгруэнции, которая принадлежит части W пространства . Это означает, что при построении такой конгруэнции будем рассматривать в каждой плоскости плоский пучок Р() как совокупность лучей, исходящих из точки и пересекающих координатные плоскости XOY и YOZ в точке . В этом случае пучок прямых Р() состоит из двух плоских пучков

. (12)

Конгруэнция [w ₁ И ] образуется двояко как конгруэнция бипланар следующим образом. Введем условие, что за лучи конгруэнции принимаются линии пересечения плоскостей из пучков плоскостей, линиями связки которых являются касательные линии к кривой w ₁в точках, определенных параметром . Тогда из трех параметров комплекса , , останутся свободными только два и. При изменении параметра возникает однопараметрическое (Ґ ¹) множество плоскостей , касательных к фокальной фигуре w ₁. Каждая плоскость со всеми другими плоскостями пересекается по пучку (Ґ ¹) прямых, которые называются бипланарами. Они дважды касаются кривой w _1, так как принадлежат двум касательным плоскостям. Совокупность всех линий пересечения представляет собой множество Ґ ¹ ґ Ґ ¹ = Ґ ² и составляет конгруэнцию бипланар.

1. Трухина В.Д. Моделирование и анализ линейчатых технических поверхностей (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения).- Барнаул: Изд-во АлтГТУ им. И.И. Ползунова, 1996.- 65 с.
2. Трухина В.Д. Метаданные компьютерных архивов линейчатых поверхностей технических изделий // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева.- Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. - С. 78-79.
3. Трухина В.Д. Конгруэнции прямых как информационная основа компьютерных архивов линейчатых поверхностей технических изделий // Актуальные проблемы графического образования молодежи, Рыбинск: Изд-во Рыбинской государственной авиационной технологической академии.- Рыбинск, 1998.- С.21-22.